资源描述
第 八 章 专 题 拓 展 8.4 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 型中 考 数 学 (江 苏 专 用 ) 解 答 题1.(2018云南昆明,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y 0时,自变量x的取值范围;(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA BA时,求PAB的面积. 好题精练 解析(1)解法一:抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴为直线x=2, (1分)解得 (2分)抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分)抛物线过原点,对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得A(4,0),由题图可知,当y 0时,自变量x的取值范围为0 x 4.(4分)解法二:抛物线y=ax 2+bx过原点,对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得A(4,0),把A(4,0),B(1,-3)分别代入y=ax2+bx中,得 (1分)解得 (2分)抛物线的解析式为y=x 2-4x.(3分) 2,2 3,baa b 1,4.ab 16 4 0,3,a ba b 1,4.ab 由题图可知,当y 0时,自变量x的取值范围为0 x 4.(4分)(2)解法一:过点B作BE x轴于点E,过点P作PF x轴于点F,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3), BE=AE=3, EAB= EBA=45, PA BA,即 PAB=90, PAF=45, FPA= PAF=45, PF=AF.(5分)设点P的坐标为(x,x2-4x),点P在第二象限内, x0,PF=x2-4x,又AF=4-x, x2-4x=4-x,解得x1=4(不符合题意,舍去),x2=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分) PF=5.设直线PB的解析式为y=kx+m(k 0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,得解得 直线PB的解析式为y=-4x+1.(7分)当y=0时,-4x+1=0, x=, C , 5,3,k mk m 4,1.km 141,04 AC=4-=, (8分) SPAB=SPAC+SABC=5+3=15. (9分)解法二:过点B作BE x轴于点E,过点P作PF x轴于点F,设PA与y轴交于点D.点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3), BE=AE=3, EAB= EBA=45,且AB=3 , PA BA,即 PAB=90, PAF=45, ODA= PAF=45, OD=OA=4,点D的坐标为(0,4),14 154 12 154 12 1542 设直线PA的解析式为y=kx+m(k 0),把D(0,4),A(4,0)分别代入y=kx+m中,得解得直线PA的解析式为y=-x+4.(5分)由x 2-4x=-x+4解得x1=4,x2=-1,点P在第二象限内, x=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分) PAF= APF=45, PF=AF=5,在RtPFA中, AFP=90,由勾股定理得AP= = =5 . (7分) 4,4 0,mk m 1,4.km 2 2AF PF 2 25 5 2 在RtPAB中, PAB=90, SABP=APAB=5 3 =15. (9分)(其他解法参照此标准给分)12 12 2 2思路分析(1)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线经过点B(1,-3),则用待定系数法可求得抛物线的解析式,求得抛物线与x轴的另一个交点A的坐标,或者先求出A点坐标,然后将A、B点坐标分别代入y=ax 2+bx中,得到抛物线的解析式.从而结合图象即可得y 0时自变量x的取值范围;(2)过B作BE x轴于点E,过P作PF x轴于点F,由BE=AE,AP AB,得PF=AF,建立方程求得点P的坐标,确定直线PB的解析式,从而求得PAB的面积,或者过B作BE x轴于点E,过P作PF x轴于点F,由BE=AE,AP AB,得OD=OA(D为PA与y轴交点),从而求出直线PA的解析式,建立方程求得点P的坐标,进而求得PAB的面积.疑难突破本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式以及二次函数图象的性质.难点为本题第(2)问,当PA BA时,求S PAB,先确定点P的坐标,再用分割法或直角三角形面积公式求出SPAB. 2.(2018天津,25,10分)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常数),顶点为P.(1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标;(2)若点P在x轴下方,当 AOP=45时,求抛物线的解析式;(3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当 AHP=45时,求抛物线的解析式. 解析(1)抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0), 0=1+m-2m,解得m=1.抛物线的解析式为y=x2+x-2. y=x2+x-2= -,顶点P的坐标为 .(2)抛物线y=x 2+mx-2m的顶点P的坐标为 .由点A(1,0)在x轴正半轴上,点P在x轴下方, AOP=45,知点P在第四象限.过点P作PQ x轴于点Q,则 POQ= OPQ=45.可知PQ=OQ,即 =-,解得m1=0,m2=-10.当m=0时,点P不在第四象限,舍去. m=-10.抛物线的解析式为y=x 2-10 x+20. 212x 941 9,2 4 2 8,2 4m m m 2 84m m 2m (3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,当x=2时,无论m取何值,y都等于4.点H的坐标为(2,4).过点A作AD AH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,则 DEA=AGH=90. DAH=90, AHP=45, ADH=45, AH=AD. DAE+ HAG= AHG+ HAG=90, DAE= AHG.ADEHAG. DE=AG=1,AE=HG=4. 可得点D的坐标为(-3,1)或(5,-1).当点D的坐标为(-3,1)时,可得直线DH的解析式为y=x+.35 145 点P在直线y=x+上, - = +.解得m1=-4,m2=-.当m=-4时,点P与点H重合,不符合题意, m=-.当点D的坐标为(5,-1)时,可得直线DH的解析式为y=-x+.点P在直线y=-x+上, - =- +.解得m1=-4(舍),m2=-. m=-. 2 8,2 4m m m 35 1452 84m m 35 2m 145145145 53 2232 8,2 4m m m 53 223 2 84m m 53 2m 223223223 综上,m=-或m=-.故抛物线的解析式为y=x2-x+或y=x2-x+.145 223 145 285 223 443思路分析(1)把点A(1,0)代入抛物线,求出m的值,确定抛物线的解析式,可求出顶点P的坐标;(2)由函数解析式得出顶点坐标为 ,作PQ x轴于点Q,则PQ=OQ,建立方程求出m的值,得出抛物线的解析式;(3)由y=x 2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,定点H的坐标为(2,4),过点A作AD AH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,由 AHP=45,得出AH=AD,可证ADEHAG,再求得点D的坐标,分类讨论求出抛物线的解析式.2 8,2 4m m m 方法总结本题为二次函数的综合题,属压轴题.三个问题分别给出不同条件,再用待定系数法求二次函数关系式.第一问代入点A的坐标即可得解;第二问关键是构造直角三角形,根据顶点P的位置特点,建立方程求解;第三问难度较大,找到定点H的坐标是关键,再依据点H,点A的坐标以及 AHP=45构造“一线三等角”的模型确定点D的坐标,最后根据点P在直线DH上,分类讨论求出m的值,即可求出抛物线的解析式. 3. (2018上海崇明一模,24)如图,抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0),B(0,2).M(m,0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合),过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式;(2)如果点P是MN的中点,那么求此时点N的坐标;(3)如果以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标. 43 解析(1)设直线AB的解析式为y=px+q,把A(3,0),B(0,2)代入得解得直线AB的解析式为y=-x+2.把A(3,0),B(0,2)代入y=-x 2+bx+c得解得抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2) M(m,0),MN x轴, N ,P . NP=-m 2+4m,PM=-m+2.而NP=PM, -m2+4m=-m+2. 3 0,2,p qq 2,32,pq 2343 24 3 3 0,32, b cc 10,32,bc 43 10324 10, 23 3m m m 2, 23m m 43 2343 23 解得m1=3(舍去),m2=, N .(3) A(3,0),B(0,2),P , AB= = ,BP= = m.而NP=-m 2+4m, MN OB, BPN= ABO.当=时,BPNOBA,则BPNMPA,即 m 2= ,整理得8m 2-11m=0,解得m1=0(舍去),m2=,则M .当=时,BPNABO,则BPNAPM, 121 10,2 3 2, 23m m 2 23 2 13 22 2 2 23m m 13343PBPB PNBA133 24 43m m 13 118 11,08 PBBA PNOB 即 m = 2,整理得2m2-5m=0,解得m1=0(舍去),m2=,则M .综上所述,点M的坐标为或 .133 13 24 43m m 52 5,02 11,08 502 思路分析(1)利用待定系数法求直线和抛物线解析式;(2)设出N点的横坐标,表示出N点、P点的坐标,用含参数m的代数式计算出NP的长度,利用NP=PM得到以参数m为未知数的方程,解方程求出m的值,即可得到N点坐标;(3)利用两点间的距离公式计算出各三角形中的边长,根据 BPN= ABO,分类讨论判定三角形相似,由不同的比例线段,建立方程,解关于m的方程即可得到对应的M点的坐标. 4.(2017四川攀枝花,24,12分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值;(3)点D为抛物线对称轴上一点.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标;若BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围. 解析(1)由题意得解得抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2分)(2)如图,过P作PG CF交CB于G,图由题意知直线BC的解析式为y=-x+3,OC=OB=3, OCB=45, CEF为等腰直角三角形,(3分) PG CF,GPE为等腰直角三角形, F(0,m),C(0,3), 23 3 0,3,b cc 4,3,bc CF=3-m,(4分)在CEF和GPE中,EF=CF=(3-m),PE=PG,设xP=t(1t3),则PE=PG=(-t+3-t-m)=(-m-2t+3),当x=t时,t 2-4t+3=t+m, PE+EF=(-m-2t+3)+(3-m)=(-2t-2m+6)=- (t+m-3)=- (t2-4t)=- (t-2)2+4 ,当t=2时,PE+EF值最大,最大值为4 .(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点的坐标在C上方D 1位置,由勾股定理得,CD2+BC2=BD2,(7分)即(2-0)2+(n-3)2+(3 )2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5. (8分)当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标在C下方D2位置时,由勾股定理得BD2 22 22 2222 2222 22 22 222 2 2 222 +BC2=CD2,即(2-3)2+(n-0)2+(3 )2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1,当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标为(2,5)或(2,-1).(9分)图如图,以BC的中点T ,BC为半径作T,与对称轴直线x=2交于D 3和D4,由直径所对的圆周角是直角得 CD3B= CD4B=90,(10分)设D(2,m),由DT=BC=得 + = ,解得m= , 2 3 3,2 2 1212 3 22 23 22 232 m 23 22 3 172 D3 ,D4 ,又由得D1(2,5),D2(2,-1),若BCD是锐角三角形,D点在线段D1D3或D2D4上时(不与端点重合),点D的纵坐标的取值范围是-1yD或 yD,=),并证明你的判断;(3)P为y轴上一点,以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形,设点P(0,m),求自然数m的值;(4)若k=1,在直线l下方的抛物线上是否存在点Q,使得QBF的面积最大,若存在,求出点Q的坐标及QBF的最大面积,若不存在,说明理由. 解析(1) y=ax2+c过点(-2,2),(4,5), 解得抛物线的解析式为y=x2+1. (2分)(2)BF=BC.(3分)证明:设B点坐标为 ,则BC=n 2+1,又 F(0,2), BF2=(n-0)2+ =n4+n2+1= , BF=n2+1=BC. (5分)(3)当P点在F点下方时,m=0或m=1.当m=0时,FP=2,B点坐标为 ,令n 2+1=2,则n=2, 4 2,16 5,a ca c 1,41,ac 1421, 14n n 14221 1 24n 116 12 221 14n 14 21, 14n n 14 则四边形FBCP是边长为2的正方形,满足题意.当m=1时,则FP=BC=1,点B坐标为 ,则n2+1=1,此时n=0,不符合题意.当P点在F点上方时,如图, 图四边形PBCF为菱形,则FB=BC=CF, 21, 14n n 14 FBC为等边三角形, FC=2FO=4, OP=6,即m=6.(8分)(4)如图,作QE y轴交AB于E,当k=1时,函数解析式为y=x+2, 联立得或则B(1+ ,3+ ). (10分)22,1 2,4y xy x 1 5,3 5xy 1 5,1 5,xy 5 5 设Q ,则E(t,t+2), EQ=t+2- =-t2+t+1, SQBF=SEQF+SEQB=(1+ )EQ= =- (t-2)2+ +1,当t=2时,S QBF有最大值,最大值为 +1,此时Q点坐标为(2,2).(12分) 21, 14t t 21 14t 1412 512 1 5 21 14t t 5 18 55
展开阅读全文