高考数学平面向量复习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高三二轮复习之四,向量专题复习,向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。,一、向量的地位,二、考试要求,1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。,2、掌握向量的加法与减法。,3、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。,4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。,5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。,6、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。,三、高考考点回顾,其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第14题，2004年全国高考理科第3题，2004年全国高考理科第14题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题。,其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全国高考理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题等。,其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高考第17题（与三角函数结合），2004年全国卷理第21题（与解析几何结合）等；,四、向量公式回顾,1、共线定理：向量,b,与非零向量,a,共线的充要条件是有且只有一个实数,，使得,b,=,a,2、平面向量基本定理：如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,2,使,a,=,1,e,1,+,2,e,2,3、两个非零向量平行和垂直的充要条件：设,4、向量的坐标运算：a=（x,1,，y,1,），b=（x,2,，y,2,）,则 a+b=（x,1,+x,2,，y,1,+y,2,）a b=（x,1,-x,2,，y,1,-y,2,）,ab=x,1,x,2,+y,1,y,2,a=（x,1,，y,1,）,5、向量的数量积：ab=abcos,aa=a,2,=a,2,cos=a b/ab,6、两点间的距离公式：P,1,（x,1,，y,1,），P,2,（x,2,，y,2,）,7、线段的定比分点：P,1,（x,1,，y,1,），P,2,（x,2,，y,2,），,P（x，y），则P分P,1,P,2,为，即P,1,P=PP,2,五、考点梳理,1、平面向量的基本概念和运算,例1、已知,a,是以点,A,(3,-1)为起点，且与向量,b,=(-3,4),平行的单位向量，则向量,a,的终点坐标是,.,注 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。,例2、已知|,a,|=1,|,b,|=1，,a,与,b,的夹角为60,x,=2,a,b,，,y,=3,b,a,则,x,与,y,的夹角是多少？,练习、（2004年全国卷）向量 a、b,满足(a-b)(2a+b)=4,且|a|=2,|b|=4,则a与b夹角的余弦值等于,练习2、已知非零向量a、b满足（a-2b）a，（b-2a）b，则a与b的夹角为,。,练习3、（2004 全国）已知 a、b为交角60,o,的单位向量，那么a+3b=,。,练习4、（2004 重庆）已知向量a与b的夹角为60,o,，b=4，,（a+2b）（a-3b）=-72，则向量a的模等于,。,2、平面向量的几何意义,例2、若非零向量a与b满足a+b=a-b，则a与b所成的角是,。,练习（2004年 全国）已知向量a、b满足：|a|1，|b|2，|ab|2，则|ab|,教材109页 例5：OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP,结论：,等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线的充要条件是,练习（2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形，P点在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于,A、B、,C、D、,练习：（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上,不共线的三个点，动点P满足,则P的轨迹一定通过ABC的,A外心B内心C重心D垂心,3、平面向量的坐标运算,例3、（2004 广东）已知平面向量a=（3，1），b=（x，-3）且ab，则 x=（）,A.3 B.1 C.1 D.3,练习2（2004 天津）已知向量a=（1，1），b=（2，-3），若 ka-2b 与 a 垂直，则实数 k 等于,练习3：（2004 湖南）已知向量a=（cos，sin）,向量,，则2a-b的最大值，最小值分别是,练习4：（2004 上海）已知点A(1,2),若向量AB与a=,（2,3）同向,则点B的坐标为,4、平面向量与其他知识综合应用,当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：,利用向量平行或垂直的充要条件，,利用向量数量积的公式和性质.,例4、已知平面向量,（1）存在实数k和t，使得 x=a+（t,2,3）b，,y=-k a+t b，且xy，试求函数关系式 k=f（t）,（2）根据（1）的结论，写出它的单调区间,练习：已知向量a(x,x4)，向量b(x,2,3x/2),x,4,2.(1)试用x表示ab；2求ab的最大值，并求此时,ab夹角的大小。,例5（2002年全国高考新课程卷）已知两点M(1，0)，N(1,0)，且点P使MPMN，PMPN，NMNP成公差小于零的等差数列.,（）点P 的轨迹是什么曲线？,（）若点P坐标为（x,0,、y,0,），记为PM与PN的夹角，求tan.,