资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 微积分的基本概念,2-1,微商的概念,1.,微商的定义,函数的增量：,假定函数,y=f(x),在点 的某个邻域内有定义,.,当自变量,x,在这邻域内从 变到时 ，,函数,y,相应地从 变到,，因此函数的对应增量为,o,x,y,y = f(x),x,0,x,0,+ x,f(x,0,),x,y,首先介绍变量的,增量,概念,.,自由落体运动,设描述质点运动位置的函数为,计算在时刻 的瞬时速度,.,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,物体沿直线运动的瞬时速度,自由落体运动,例：求自由落体运动,:,2.,曲线的切线斜率,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(,当 时,),割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,两个问题的,共性,:,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限,.,类似问题还有,:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,定义,说明,表示,在点,的某个,右,邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,(,左,),(,左,),定义,2,.,设函数,有定义,存在,即,显然,:,函数在一点可导,其左右导数都保存并相等,.,例,证明函数,在,x,= 0,不可导,.,证,在,x,= 0,不可导,.,所以,导函数,记作,:,若在区间,(a,b),内每一点,x,处函数,f(x),都可导，则,称,f(x),在,(a,b),内可导,.,这时每一个 都对应一个导,数值 ，这样便定义出一个新的函数 ，它被称,为,f(x),的导函数,.,例,1,求函数,(,C,为常数,),的导数,.,解,简单地说，常函数的导函数为零,.,在一个区间内导数恒为,0,的函数是一个常数函数,.,例,2,解,求函数,f(x)=sinx,的导数,.,即,例,4,设,m,为一自然数，则,证,说明：,对一般幂函数,(,为常数,),（以后将证明）,例如，,例,5,求 的导数,.,解,例,6,求 的导数,.,解,函数的可导性与连续性的关系,设,在点,处可导,即,也就是说,，,我们令,那么， 时,两边乘上 ，得,0,0,即,说明,f(x),在点 连续,.,注意,:,函数在点,连续未必可导,.,反例,:,在,x,= 0,处连续 ,但不可导,.,又例如,在,x=0,点是连续的，但它在该点是不可导的,.,在图形中曲线,在原点,o,具,有垂直于,x,轴的切线,x=0.,O,y,x,函数在某点连续是函数在该点可导,的必要条件，但不是充分条件,.,再举一个例：,在前一个例子中，曲线在,(0,0),处是一个尖角,.,两侧的,割线有不同的极限位置，即有左、右切线，故在该点没,有切线,.,在后一个例子中，曲线在,(0,0),点的切线垂直于,x,轴,因而其与,x,轴夹角的正切为 ，导致导数的不存在,.,由于 ，故它显然在,x=0,点是连续的,.,但该函,数 在,x=0,点是不可导的,.,极限不存在,.,因为,内容小结,1.,导数的实质,:,3.,导数的几何意义,:,4.,可导必连续,但连续不一定可导,;,5.,已学求导公式,:,6.,判断可导性,不连续,一定不可导,.,直接用导数定义,;,看左右导数是否存在且相等,.,2.,增量比的极限,;,切线的斜率,;,思考与练习,1.,函数 在某点 处的导数,区别,:,是函数,是数值,;,联系,:,注意,:,有什么区别与联系,?,？,与导函数,2.,设,存在,则,3.,已知,则,4.,若,时,恒有,问,是否在,可导,?,解,:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,5.,设,问,a,取何值时,在,都存在,并求出,解,:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在,x,= 0,连续,.,2,、微商的四则运算,定理,1.,的和、,差、,积、,商,(,除分母,为,0,的点外,),都在点,x,可导,且,此法则可推广到任意有限项的情形,.,证,:,设,则,故结论成立,.,例如,(2),证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),推论,:,(3),证,:,设,则有,故结论成立,.,(,C,为常数,),例,7,例,8,例,9,
展开阅读全文