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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第一节平面向量的概念及其线性运算,1,总纲目录,教材研读,1.,向量的有关概念,考点突破,2.,向量的线性运算,3.,共线向量定理,考点二向量的线性运算,考点一向量的有关概念,考点三共线向量定理的应用,2,1.向量的有关概念,教材研读,名称,定义,备注,向量,既有,大小,又有,方向,的量;向量的,大小叫做向量的,长度,(或,模,),向量由方向和长度确定,不受位置影响,零向量,长度为,0,的向量;其方向是任意的,记作,0,单位向量,长度等于,1个单位,的向量,非零向量,a,的单位向量为,平行向量,方向,相同或相反,的非零向量,0与任一向量,平行,或共线,共线向量,方向相同或相反,的非零向量又叫做共线向量,相等向量,长度,相等,且方向,相同,的向量,两向量不能比较大小,相反向量,长度,相等,且方向,相反,的向量,0的相反向量为0,3,2.向量的线性运算,4,向量运算的常用结论,(1)在,ABC,中,D,是,BC,的中点,则,=,(,+,);,(2),O,为,ABC,的重心的充要条件是,+,+,=0;,(3)四边形,ABCD,中,E,为,AD,的中点,F,为,BC,的中点,则,+,=2,.,3.共线向量定理,向量,a,(,a,0)与,b,共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得,b,=,a,.,5,1.下列说法正确的是,(),A.,就是,所在的直线平行于,所在的直线,B.长度相等的向量叫相等向量,C.零向量长度等于0,D.共线向量是在同一条直线上的向量,答案,C,包含,所在的直线与,所在的直线平行和重合两,种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零,向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以,是所在直线互相平行的向量,故D错.,C,6,2.(2016北京西城期末)设,M,是,ABC,所在平面内一点,且,=,则,=,(),A.,-,B.,+,C.,(,-,)D.,(,+,),答案,D,M,是,ABC,所在平面内一点,且,=,M,为,BC,的中点,=,(,+,).故选D.,D,7,3.(2017北京海淀二模)已知向量,a,=(,x,1),b,=(3,-2),若,a,b,则,x,=,(),A.-3B.-,C.,D.,答案,B,a,=(,x,1),b,=(3,-2),且,a,b,-2,x,-3=0,x,=-,.,B,8,4.(2017北京海淀期中)在正方形,ABCD,中,E,是线段,CD,的中点,若,=,+,则,-,=,.,答案,解析,在正方形,ABCD,中,E,是线段,CD,的中点,因为,=,+,=,+,=,-,+,=,+,+,=,+,=,+,所以,=,=1,所以,-,=,故答案为,.,9,考点一向量的有关概念,考点突破,典例1,给出下列命题:,(1)若|,a,|=|,b,|,则,a,=,b,;,(2)若,A,、,B,、,C,、,D,是不共线的四点,则,=,是四边形,ABCD,为平行四,边形的充要条件;,(3)若,a,=,b,b,=,c,则,a,=,c,;,(4)两向量,a,、,b,相等的充要条件是|,a,|=|,b,|且,a,b,;,(5)如果,a,b,b,c,那么,a,c,.,其中假命题的个数为,(),A.2B.3C.4D.5,B,10,答案,B,解析,(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|,a,|=|,b,|推不出,a,=,b,.,(2)正确.若,=,则|,|=|,|且,.,又,A,、,B,、,C,、,D,是不共线的四点,四边形,ABCD,是平行四边形.,反之,若四边形,ABCD,是平行四边形,则,AB,DC,且,与,方向相同,因,此,=,.,(3)正确.,a,=,b,a,、,b,的长度相等且方向相同.,b,=,c,b,、,c,的长度相等且方向相同.,a,、,c,的长度相等且方向相同,a,=,c,.,(4)不正确.当,a,b,但方向相反时,即使|,a,|=|,b,|,也不能得到,a,=,b,故,11,不是,a,=,b,的充要条件.,(5)不正确.若,b,=0,则,a,与,c,不一定共线.,易错警示,(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.,(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.,(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它,与函数图象的移动混为一谈.,(4)非零向量,a,与,的关系:,是,a,方向上的单位向量.,12,1-1,设,a,b,都是非零向量,下列四个条件中,使,=,成立的充分条件,是,(),A.,a,=-,b,B.,a,b,C.,a,=2,b,D.,a,b,且|,a,|=|,b,|,答案,C因为向量,的方向与向量,a,相同,向量,的方向与向量,b,相,同,且,=,所以向量,a,与向量,b,方向相同,故可排除选项A,B,D.,当,a,=2,b,时,=,=,故,a,=2,b,是,=,成立的充分条件.,C,13,1-2,给出下列命题:,两个具有公共终点的向量一定是共线向量.,两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.,若,a,=0(,为实数),则,必为零.,若,a,=,b,(,为实数),则,a,与,b,共线.,其中错误命题的个数为,(),A.1B.2C.3D.4,答案,C错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.,正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向,量的模均为实数,故可以比较大小.错误,当,a,=0时,无论,为何值,均有,a,=0.错误,当,=,=0时,a,=,b,=0,此时,a,与,b,可以是任意向量.故选C.,C,14,1-3,如图,设,O,是正六边形,ABCDEF,的中心,则图中与,相等的向量有,.,答案,15,典例2,(1)(2017北京西城一模)在,ABC,中,点,D,满足,=3,则,(),A.,=,+,B.,=,-,C.,=,+,D.,=,-,(2)(2016北京海淀期末)如图,正方形,ABCD,中,E,为,DC,的中点,若,=,+,则,+,的值为,(),考点二向量的线性运算,A.,B.-,C.1D.-1,16,答案,(1)C(2)A,解析,(1)点,D,满足,=3,=,+,=,+,=,+,(,-,)=,+,.故选C.,(2)因为,E,为,DC,的中点,所以,=,+,=,+,+,=,+(,+,),=,+,故,=-,+,所以,=-,=1,所以,+,的值为,.,17,1.平面向量的线性运算技巧,(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.,(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等,向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示,出来求解.,方法指导,2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路,(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.,(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形,式.,(3)比较、观察可知所求.,18,2-1,在,ABC,中,=,c,=,b,.若点,D,满足,=2,则,=,(),A.,b,+,c,B.,c,-,b,C.,b,-,c,D.,b,+,c,答案,D由题意可知,=,-,=,b,-,c,=2,=,=,(,b,-,c,),则,=,+,=,+,=,c,+,(,b,-,c,)=,b,+,c,.故选D.,D,19,2-2,(2017北京海淀一模)在,ABC,中,点,D,满足,=2,-,则(),A.点,D,不在直线,BC,上B.点,D,在,BC,的延长线上,C.点,D,在线段,BC,上D.点,D,在,CB,的延长线上,答案,D,=2,-,=,+,-,=,+,.,如图,以,B,为始点,作,=,连接,AD,则,+,=,+,=,=,.,D,和,D,重合,点,D,在,CB,的延长线上,故选D.,D,20,典例3,设两个非零向量,a,与,b,不共线.,(1)若,=,a,+,b,=2,a,+8,b,=3(,a,-,b,),求证:,A,B,D,三点共线;,(2)试确定实数,k,使,ka,+,b,和,a,+,kb,共线.,考点三共线向量定理的应用,21,解析,(1)证明:,=,a,+,b,=2,a,+8,b,=3(,a,-,b,),=,+,=2,a,+8,b,+3(,a,-,b,)=5(,a,+,b,)=5,共线,又它们有公共点,B,A,B,D,三点共线.,(2),ka,+,b,与,a,+,kb,共线,存在实数,使,ka,+,b,=,(,a,+,kb,),即(,k,-,),a,=(,k,-1),b,.,又,a,b,是两个不共线的非零向量,k,-,=,k,-1=0.,k,2,-1=0.,k,=,1.,22,1.共线向量定理的应用,(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的,值.,(2)若,a,b,不共线,则,a,+,b,=0的充要条件是,=,=0,这一结论结合待定系数,法应用非常广泛.,方法技巧,2.证明三点共线的方法,若,=,则,A,、,B,、,C,三点共线.,23,变式3-1,若将本例(1)中“,=2,a,+8,b,”改为“,=,a,+,mb,”,则,m,为何值,时,A,、,B,、,D,三点共线?,解析,+,=(,a,+,mb,)+3(,a,-,b,)=4,a,+(,m,-3),b,即,=4,a,+(,m,-3),b,.,若,A,、,B,、,D,三点共线,则存在实数,使,=,即4,a,+(,m,-3),b,=,(,a,+,b,),解得,m,=7.,故当,m,=7时,A,、,B,、,D,三点共线.,24,变式3-2,若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则,k,为何值?,解析,因为,ka,+,b,与,a,+,kb,反向共线,所以存在实数,使,ka,+,b,=,(,a,+,kb,)(,0),所以,所以,k,=,1.,又,0,k,=,所以,k,=-1.,故当,k,=-1时,两向量反向共线.,25,3-3,设两个非零向量,a,与,b,不共线,若,a,与,b,的起点相同,且,a,tb,(,a,+,b,)的,终点在同一条直线上,求实数,t,的值.,解析,a,tb,(,a,+,b,)三个向量的终点在同一条直线上,且,a,与,b,的起点相,同,a,-,tb,与,a,-,(,a,+,b,)共线,即,a,-,tb,与,a,-,b,共线,存在实数,使,a,-,tb,=,解得,=,t,=,.,26,
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