注意亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.,事实上：因为,所以,2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.,事实上，对于,若,A,可逆，则有,对应于：,即,例3,.设,AX,=,B,求,X,.其中,解,若,可逆，则,所以,同理亦可求解矩阵方程,若,可逆，则有,即,例4,.设,A,的伴随矩阵,且有,求,B,.,解,:在,两边左乘,右乘,A,，得,即,因为,而,从而有,（*）,故（*）式可改写为,即,所以,第三章 小 结,矩阵的初等变换与线性方程组,矩 阵 的 初 等换,初 等 方 阵,矩 阵 的 秩,线 性 方 程 组,矩 阵 的 初 等 变 换,概 念,1.对换矩阵的,i,j,两行（列）,.,2.用,k,0乘矩阵的第,i,行（列）.,3.把某,i,行（列）的,k,倍加到另一行（列）的对应元素上去.,性 质,1.初等变换不改变矩阵的秩.,2.对,A,经过有限次初等变换得到,B,，则,A,等价,B,.,用 途,求逆，,求矩阵,A,的秩、最简型、标准形.,初 等 方 阵,性 质,初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.,对,A,m,n,矩阵实施一次,行,初等变换，相当于对,A,左,乘一个相应的,m,阶初等方阵；对,A,实施一次,列,初等变换，相当于对,A,右,乘一个相应的,n,阶初等方阵.,任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.,概 念,对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为,初等方阵,.,三种初等变换对应三种初等方阵,.,矩 阵 的 秩,概 念,k,阶子式.,秩：矩阵非零子式的最高阶数.,性 质,零矩阵的秩为零.,R,(,A,)=,R,(,A,T,),若,B,可逆，则,R,(,AB,)=,R,(,A,).,R,(,A,+,B,),R,(,A,)+,R,(,B,),R,(,AB,),min,R,(,A,),R,(,B,),R,(,AB,),R,(,A,)+,R,(,B,)-,n,若,AB,=0,则,R,(,A,)+,R,(,B,),n,线 性 方 程 组,有非零解,R,(,A,),n,.,求 解,1.化系数矩阵为最简形.,2.找等价的方程组.,3.写,通解,.,有解,R,(,A,)=,R,(,B,).,求 解,1.把增广矩阵,B,化为最简形.,2.找等价的方程组.,3.写,通解,.,Ax,=0 解 的 结 构,Ax,=0 有唯一零解,R,(,A,)=,r,=,n,.,Ax,=0 有无穷多个非零解,R,(,A,)=,r,n,.,其,通解,可表为：,为方程组的,基础解系.,其中,Ax,=,b,解 的 结 构,Ax,=,b,无解,R,(,A,),R,(,B,),Ax,=,b,有解,R,(,A,)=,R,(,B,)=,r,1）当,r,=,n,时，方程组有唯一解.,2）当,r,n,时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：,其中,为方程组对应的导出组的,基础解系.,为方程组的一个,特解,.,作业：,94页 11（2）12（1）（2）,