指数函数、对数函数、幂函数增长比较

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,指数函数、幂函数,对数函数增长的比较,第一课时,一粒米的故事,从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿.,“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米.”发明者说.“只是几粒米？”国王回答说.“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望.”国王很高兴.“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了.国王想.于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”,思考：,国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗,？,如果一个函数，底数是自变量,x,指数是常数 ，,1.,幂函数：,这样的函数称为幂函数,.,即,在第一象限内，,当,a0,时，图象随,x,增大而上升,当,a1,0a,y,3.,对数函数,y=log,a,x,(a0,，且,a1),当,a,1,时，指数函数,y,=,a,x,是增函数，并且对于,x,0,，当,a,越大时，其函数值的增长就越快。,指数函数,当,a,1,时，对数函数,y=,log,a,x,是增函数，并且对,于,x,1,，当,a,越小时，其函数值的增长就越快。,对数函数,当,x,0,，,n,1,时，幂函数,y,=,x,n,是增函数，并且对于,x,1,，当,n,越大时，其函数值的增长就越快。,y,x,-3 -2 -1,O,1 2 3,6,5,4,3,2,1,y=x,2,y=x,4,幂函数,比较函数y=2,x,y=x,2,y=log,2,x图像增长快慢,y=log,2,x,y=x,2,y=2,x,y,x,O,16,4,2,4,思考？,对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢,?,对数函数 y=log,2,x增长最慢,幂函数 y=x,2,和指数函数y=2,x,快慢则交替进行,在(0,2)，幂函数比指数函数增长快,在(4,+,)，指数函数比幂函数增长快,自变量,x,函数值,y,=2,x,y,=,x,100,(,x,0),y=,log,2,x,1,2,1,0,1.007 004 4,2.009 733 8,2.009 725 8,0.010 071 0,10,1 024,10,100,3.321 928 1,100,1.2710,30,10,200,6.643 856 2,300,2.0410,90,5.1510,247,8.228 818 7,500,3.2710,150,7.8910,269,8.965 784 3,700,5.2610,210,3.2310,284,9.451 211 1,900,8.4510,270,2.6610,295,9.813 781 2,996,6.7010,299,6.7010,299,9.96,1 000,1.0710,301,10,300,9.965 784 3,1 100,1.3610,331,1.3810,304,10.1032878,1 200,1.7210,361,8.2810,307,10.2288187,借助计算器完成右表,对函数,y,=2,x,y,=,x,100,(,x,0),y,=log,2,x,的函数值,(,取近似值,),比较,x,的 变,化 区 间,函数值的变化量,y,=2,x,y,=,x,100,(,x,0),y,=log,2,x,(1,10),1023,10,100,1,3.321 928 1,(10,100),1.2710,30,10,200,3.321 928 1,(100,300),2.0410,90,5.1510,247,1.584 962 5,(300,500),3.2710,150,7.8910,269,0.736 965 6,(500,700),5.2610,210,3.2310,284,0.485 426 8,(700,900),8.4510,270,2.6610,295,0.362 570 1,(900,1000),1.0710,301,10,300,0.152 003 1,(1000,1100),1.3610,331,1.3810,304,0.137 503 5,(1100,1200),1.7210,361,8.2810,307,0.125 530 9,利用上表完成右表,对函数,y,=2,x,y,=,x,100,(,x,0),y,=log,2,x,的函数值,(,取近似值,),比较,1,、随着,x,的值越大，,y,=log,2,x,的函数值增长的越来越慢，,y,=2,x,和,y,=,x,100,的函数值增长的 越来越快,y,=log,2,x,增长比,y,=2,x,和,y,=,x,100,要慢的多。,2,、对函数,y,=2,x,和,y,=,x,100,而言,在,x,比较小时，会存在,y,=,x,100,比,y,=2,x,的增长快,的情况。,当,x,比较大时，,y,=2,x,比,y,=,x,100,增长得更快。,在区间,(0,),上,当,a,1,n,0,时,当,x,足够大时,随着,x,的增大,y,=,a,x,的增长速度越来越快,会超过并远远大于,y,=,x,n,的增长速度,而,y,=log,a,x,的增长速度则越来越慢,.,因此,总会存在一个,x,0,，,.,使得当,x,x,0,时，一定有,a,x,x,n,log,a,x,指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,指数函数值长非常快,因而常称这种现象为“,指数爆炸,”,现在回答下：国王能满足他吗？,例,1,、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下,:,方案一：,每天回报,40,元；,方案二：,第一天回报,10,元，以后每天比前一天 多回报,10,元；,方案三：,第一天回报,0.4,元，以后每天的回报比前一天翻一番,请问，你会选择哪种投资方案？,令第,x,天,回报为,y,元,方案一,:,y,=40,方案二,:,y=,10,x,(,x,N,+,),方案三,:,y,=2,x-1,0.4(,x,N+),分析,投,资,7,天,以下选方案一,投,资,7,8,天以下选方案二,投资,8,天以上选方案三,例,2,、,0.3,2,，,log,2,0.3,，,2,0.3,这三个数之间,大小关系是,()A.0.3,2,2,0.3,log,2,0.3;,B.0.3,2,log,2,0.3,2,0.3,;,C.log,2,0.3,2,0.3,0.3,2,;,D.log,2,0.3,0.3,2,2,0.3,;,D,再见,