弹性力学总结与复习

弹性力学课程总结与复习,一、弹性力学问题研究的基本框架：,弹性力学问题,基本假设与基本量,5个基本假设；,15个基本量：,基本原理,平衡原理,能量原理,（单元体）,（整体）,基本方程,控制微分方程（15个）,边界条件（6个）,平衡微分方程（3个）：,几何方程（6个）：,物理方程（6个）：,应力边界条件（3个）：,位移边界条件（3个）：,数学上,构成偏微分方程的,定解问题,求解方法,求解方法,函数解,精确解；,近似解；,（如：基于能量原理的解）,数值解,（如：有限差分法、有限单元法等）,实验方法,二、弹性力学平面问题的求解,（1）按,未知量,的性质分：,按位移求解；,按应力求解；,（2）按采用的,坐标系,分：,直角坐标解答；,极坐标解答；,（3）按采用的,函数类型,分：,级数解；,初等函数解；,复变函数解；,1,.平面问题的求解方法,逆解法；,半逆解法；,2.,平面问题求解的基本方程,（1）平衡方程,（2-2）,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（2-18）,（平面应力情形）,（1）对应力边界问题，且为,单连通问题,，满足上述方程的解是唯一正确解。,（2）对,多连通问题,，满足上述方程外，还需满足,位移单值条件,，才是唯一正确解。,说明：,3.常体力下平面问题求解的基本方程与步骤：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,（2-18）,（2-17）,直角坐标下,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,将上述应力分量,满足问题的边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,极坐标下,4.平面问题,Airy,应力函数,的选取：,直角坐标下,x,y,O,b,l,x,习题：3-1，3 2，3 3，3-4,x,y,O,极坐标下,（1）轴对称问题,（411）,应力函数,应力分量,（412）,位移分量,（4-13）,式中：,A、B、C、H、I、K,由应力和位移边界条件确定。,（2）圆孔的孔边应力集中问题,原问题的转换：,问题1,b,a,b,a,问题2,轴对称问题,非轴对称问题,（3）楔形体问题,由,因次法,确定 应力函数的分离变量形式,（1）楔顶受集中力偶,x,y,O,P,x,y,O,M,（2）楔顶受集中力,（3）楔形体一侧受分布力,（4）曲梁问题,其中：,q,为曲梁圆周边界上的分布载荷。,M，Q,分别为梁截面上弯矩与剪力。,结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：,（5）半平面问题,P,x,y,O,x,y,O,M,x,y,O,x,y,O,a,a,x,y,O,利用叠加法求解,练习,：,（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。,（2）,z,方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力,p,作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。,（3）有一薄壁圆筒的平均半径为,R,，壁厚为,t,，两端受相等相反的扭矩,M,作用。现在圆筒上发现半径为,a,的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,（4）已知圆环在,r,=,a,的内边界上被固定，在,r,=,b,的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,45,四、弹性力学问题求解的能量法,1.基本概念与基本量,（1）形变势能,U,、比能,U,1,；,（2）形变余能,U,*,、比余能,U,*,1,；,（3）总势能,；,（4）总余能,*,；,各量的计算。,2.变分方程与变分原理,（1）,位移变分方程；,虚功方程；,最小势能原理；,伽辽金变分方程；,（2）,应力变分方程；,最小余能原理；,3.求解弹性力学问题的变分法,（1）Ritz 法；,（2）最小势能原理；,（3）伽辽金法；,（1）应力变分法；,（2）最小余能原理；,如何设定位移函数？,如何设定应力函数,？,4.弹性力学两个基本定理,（1）解的唯一性定理；,（2）功的互等定理；,5.Ritz 法解题步骤：,（1）假设位移函数，使其位移边界条件；,（2）,计算形变势能,U,；,（3）,代入Ritz 法方程求解待定系数,；,（4）回,代求解位移、应力等。,6.最小势能原理解题步骤：,（1）假设位移函数，使其位移边界条件；,（2）,计算系统的总势能,；,（3）,由最小势能原理：,=,0,，确定待定系数；,（4）回,代求解位移、应力等。,7.应力变分法解题步骤：,（1）假设满足应力边界条件的应力函数,；,（2）计算系统的形变余能,U,*,；,（3）代入应力变分法方程确定待定系数；,（4）回代求出应力分量。,在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：,五、其它问题,（1）一点应力状态分析；,（2）一点应变状态分析；,（3）应力边界条件的列写；,（圣维南原理的应用）,（4）张量的基本知识；,（弹性力学基本方程的张量表示）,第一章 绪 论,（1）弹性力学与材料力学）、结构力学课程的异同。,（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）,（2）弹性力学中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？举例说明哪些使用这些假定？,（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何不同？,第二章 平面问题的基本理论,（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。,（2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。,（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？,（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？,（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？,（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？,（7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？,（8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？,（9）边界条件有哪两类？如何列写？,（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？,（11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。,（12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？,（13）弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？,（14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？,（15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？,（16）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？,（17）何为逆解法？何为半逆解法？,（18）Airy应力函数,在边界上值的物理意义是什么？应力函数,的导数：在边界上值的物理意义是什么？,第三章 平面问题的直角坐标解答,（1）直角坐标解答适用于什么情况？,（2）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？,（3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？,（4）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？,（5）如何利用,材料力学的结果,推出应力函数,的形式？,（6）如何利用,量纲分析法,（因次分析法）确定,楔形体,问题应力函数,的幂次数？,x,y,O,b,l,x,习题：3-1，3 2，3 3，3-4,x,y,O,第四章 平面问题的极坐标解答,（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？,（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）,（2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？,（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）,（3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？,（用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等）,（4）极坐标下应力分量与应力函数,间关系？,（5）极坐标下弹性力学平面问题,边界条件的列写,？,（6）极坐标下轴对称问题应力函数,、应力分量、位移分量的特点？,（7）,圆弧形曲梁,问题应力函数,、应力分量、位移分量的确定？,（如何利用,材料力学中曲梁横截面应力,推出应力函数,的形式？）,（8）楔形体在,力偶,、,集中力,、,边界分布力,作用下，应力函数,、应力分量、位移分量的确定？,（9）半无限平面体在边界上作用,力偶,、,集中力,、,分布力,下，应力函数,、应力分量、位移分量的确定？,（10）圆孔附近应力集中问题应力函数,、应力分量、位移分量的确定？,（11）叠加法的应用。,非,轴对称问题的求解方法半逆解法,1.圆孔的孔边应力集中问题,原问题的转换：,问题1,b,a,b,a,问题2,轴对称问题,非轴对称问题,2.楔形体问题,由,因次法,确定 应力函数的分离变量形式,（1）楔顶受集中力偶,x,y,O,P,x,y,O,M,（2）楔顶受集中力,（3）楔形体一侧受分布力,3.曲梁问题,其中：,q,为曲梁圆周边界上的分布载荷。,M，Q,分别为梁截面上弯矩与剪力。,结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：,4.半平面问题,P,x,y,O,x,y,O,M,x,y,O,x,y,O,a,a,x,y,O,叠加法的应用,第七章 平面问题的差分解,（1）了解差分法的基本思想；,（2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数的差分方程；,（3）了解应力函数差分解求解弹性力学问题的基本方法步骤；,（4）了解位移差分解的基本思路；,位移差分法求解弹性力学问题的基本方法步骤；,第十一章 能量原理与变分法,（1）形变势能,U,、比能,U,1,的概念及计算；,（在线弹性情况下，比能,U,1,的计算各种形式：一般形式、应变形式、应力形式、位移形式）,（2）形变余能,U*,、比余能,U*,1,的概念及计算；与形变比能,U,1,的区别；在线弹性情况下，形变势能与形变余能存在什么关系？,（3）弹性体总势能,的概念及计算；,外力势能,（4）弹性体总余能,*,的概念及计算；,外力余势能,（5）形变比能,U,1,、比余能,U*,1,与应力、应变的关系：,（11-4）,（6）位移变分方程及其物理意义；,（7）虚功方程及其物理意义；,（7）虚功方程及其物理意义、适用性；,外力的虚功 =内力的虚功，,适用于任何性质的材料。,（8）最小势能原理及其物理意义；,（9）位移变分方程、最小势能原理与弹性力学基本方程的等价性？,（10）伽辽金变分方程及其与弹性力学基本方程的等价性？,（11）,Ritz 法,求弹性力学问题的方法与解题步骤；Ritz 法中对位移函数设定的要求；,（12）用,最小势能原理,求弹性力学问题的方法与解题步骤；,（13）用,Ritz 法,或,最小势能原理,求弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题；,（14）用,Ritz 法,或,最小势能原理,推导弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题的平衡微分方程与应力边界条件；,（15）用,伽辽金法,求解弹性力学问题时，对位移函数设定的要求；,（16）,应力变分方程,、,最小余能原理,及其与弹性力学基本方程的等价性；,相容方程和位移边界条件,（17）用,应力变分方程,、,最小余能原理,求解弹性力学问题的基本步骤；在设定应力分量时有何要求；,（18）用,应力变分方程,、,最小余能原理,求解弹性力学平面问题及等截面杆扭转问题的基本步骤；在设定应力函数时有何要求；,（19）功的互等定理及其应用；,（21）,广义变分原理,与弹性力学基本方程的等价性？,（20）有哪些,广义变分原理，,其形式如何？,