相互独立的随机变量 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,相互独立的随机变量,一、随机变量独立性的定义,二、随机变量独立性的有关结论,三、小结 思考题,回忆,若,P,X,x,Y,y,=,P,X,x,P,Y,y,则,X,x,与,Y,y,相互独立,.,F,(,x,y,),F,X,(,x,),F,Y,(,y,),若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称,A,与,B,相互独立,.,一、随机变量独立性的定义,定义,1,设,(,X,Y,),F,(,x,y,),X,F,X,(,x,),Y,F,Y,(,y,),若对所有的,x,y,都有,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),则称,X,与,Y,相互独立,.,说明,(1),X,Y,独立,X,x,Y,y,独立,对任意的实数,x,y,;,(,称,X,Y,独立,),(2),该定义对离散型和非离散型随机,变量都适用,;,(3),X,与,Y,相互独立的直观含义是,X,与,Y,取值的,概率互不影响,;,(4),在实际问题中,随机变量的独立性也,可,根据实际意义判断,;,(5),若,X,与,Y,相互独立,则可由边缘分布确,定联合分布,.,(,几乎处处成立,),二、随机变量独立性的有关结论,即,p,ij,=,(,对所有的,i,=1,2,j,=1,2,).,结论,2,设,(,X,Y,),P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,p,ij,i,j,=1,2,X,P,X,=,x,i,=,i,=1,2,则,X,与,Y,独立,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,P,X,=,x,i,P,Y,=,y,j,Y,P,Y,=,y,j,=,j,=1,2,结论,1,设,(,X,Y,),f,(,x,y,),X,X,(,x,),Y,Y,(,y,),则,X,与,Y,独立,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,).,例,1,进行打靶,设弹着点,A,(,X,Y,),的坐标,X,和,Y,相互独立,且都服从,N,(0,1),规定点,A,落在,区域,D,1,=(,x,y,)|,x,2,+y,2,1,得,2,分,;,点,A,落在,D,2,=(,x,y,)|1,x,2,+y,2,4,得,1,分,点,A,落在,D,3,=(,x,y,)|,x,2,+y,2,4,得,0,分,.,以,Z,记打靶的得分,.,写出,X,Y,的,联合,概率密度函数,并求,Z,的,分布律,.,(,P,.87,题,19),解,X,Y,独立,(,X,Y,),f,(,x,y,),=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),P,Z=,2=,P,Z=,1,P,Z=,0,Z,的分布律为,Z,=1-,P,Z=,2-,P,Z=,1,例,2,设,(,X,Y,),的分布律为,0 1,0,1,X,Y,p,11,p,21,p,12,p,22,验证,p,ij,=,(,i,，,j,=1,2),成立,独立,.,解,判断,X,与,Y,是否相互独立,.,(,i,=1,2,n,).,设,(,X,1,X,2,X,n,),为,n,维随机变量,其分布函数为,F,(,x,1,x,2,x,n,),则,(,X,1,X,2,X,n,),关于,X,i,的,边缘分布,函数为,(,X,Y,),F,(,x,y,),则称,X,1,X,2,X,n,相互独立,.,定义,2,设,(,X,1,X,2,X,n,),的分布函数为,F,(,x,1,x,2,x,n,),=,例如,同时抛掷,n,枚骰子,记,X,i,表示第,i,枚骰子出现的点数,i,=1,2,n,则,相互独立,.,若对所有的,x,1,x,2,x,n,都有,三、小结,1.,随机变量独立性的定义,注意,与事件独立性的联系,2.,随机变量独立性的两个结论,掌握利用独立性进行有关计算,会判断随机变量的独立性,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),注意,由联合分布可以确定,边缘分布,但,一般地说,由,边缘分布不能确定,联合分布,.,但若,X,Y,相互独立,则可由,边缘分布来确定,联合分布,.,