9.7方向导数与梯度9.8极值与最值(一)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,空间曲线的切线与法平面,1),参数式情况,.,空间光滑曲线,在对应,t,=,t,0,处的切向量,9.6,偏导数的几何应用,-,内容回顾,空间光滑曲线,2),一般式情况,.,在点,M,处的切向量,空间光滑曲面,在点,1),隐式情况,.,处的,法向量,2.,曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,2),显式情况,.,法向量,或,向上的方向,向下的方向,曲面,在点,P,0,处的,法向量,法线方程,切平面方程,第九章,一、方向导数定义及,计算,二、梯度的,概念,9.7,方向导数与梯度,三、方向导数与梯度的关系,基本要求：会求方向导数和梯度,一、方向导数,定义,:,若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(,方向角为,),存在下列极限,:,记作,定理,:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,证明,:,由函数,且有,在点,P,可微,得,故,对于二元函数,f,(,x,y,),在点,P,(,x,y,),处沿方向,l,为,),的方向导数为,特别,:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,(,方向角,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,偏导数存在保证沿坐标轴的方向导数存在,反之不真,.,在点,(0,0),处沿,x,轴正向的方向导数,(,不存在,).,沿,x,轴反向的方向导数为,-1.,但不能保证其他方向的方向导数存在,!,例,1.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,3),的方向导数,.,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,2.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,二、梯度,向量,同样可定义二元函数及一般多元函数梯度的概念,.,称为三元函数,u,=,f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处的梯度,.,记为,:,grad,f,(,x,y,z,),或,grad,f,在点,(,x,0,y,0,z,0,),处的梯度,.,记为,:,grad,f,(,x,0,y,0,z,0,),即以函数的偏导数为分量的向量称为,梯度,二元函数的梯度,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,记与 同向的单位向量为,三、方向导数与梯度的关系,(,为,的夹角,),梯度的基本运算公式,由梯度的计算公式不难验证以上公式,P51,9,(1)(2),不妨设,u,v,为可微的二元函数,记公式按微分,符号理解,函数在一点的梯度垂直于该点等值面,(,或等值线,),称为函数,f,的,等值线,.,则,L,*,上点,P,处的法向量为,同样,对应函数,有等值面,(,等量面,),当各偏导数不同时为零时,其上,点,P,处的法向量为,指向函数增大的方向,.,3,*,.,梯度的几何意义,4,*,、物理意义,函数,(,物理量的分布,),数量场,(,数性函数,),场,向量场,(,矢性函数,),可微函数,梯度场,(,势,),如,:,温度场,电位场等,如,:,力场,速度场等,(,向量场,),注意,:,任意一个向量场不一定是梯度场,.,内容小结,1.,方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,2.,梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,沿坐标轴的方向导数存在,例,3,.,函数,在点,处的梯度,解,:,(92,考研,),指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,例,4.,函数,解,:,则,(96,考研,),=,第九章,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,9.8,多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,定义,:,若函数,则称函数在该点取得,极大值,(,极小值,),.,例如,:,在点,(0,0),有极小值,;,在点,(0,0),有极大值,;,在点,(0,0),无极值,.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,的某去心邻域内有,说明,:,使偏导数都为,0,的点称为,驻点,.,例如,定理,1,(,必要条件,),函数,偏导数,证,:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点,.,有驻点,(0,0),但在该点不取极值,.,且在该点取得极值,则有,存在,故,时,具有极值,定理,2,(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,证明,(,略,).,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,注意,:,判别式是,例,1.,求函数,解,:,第一步 求驻点,.,驻点为,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 列表考查,的极值,.,驻点,A,B,C,结论,(1,0),12,0,6,36,极小值,=,5,=0,=0,例,2.,讨论函数,及,是否取得极值,.,解,:,显然,(0,0),都是它们的驻点,在,(0,0),点邻域内的取值,因此,z,(0,0),不是极值,.,因此,为极小值,.,正,负,0,在点,(0,0),并且在,(0,0),都有,可能为,作业,5-7,习题,.,函数,由,确定,求其极值,.,解,:,令,令,得驻点,(,x=,3,y,z=y,代入第三个方程,),(9,3 )(-9,-3,),驻点,(9,3 )(-9,-3,),此时,z=y,极小值,极大值,.,