随机变量及其分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,数学科学学院 徐 鑫,1,、随机变量及其分布函数,随机变量就是“取值随机会而定”的变量，正如,随机事件是“发生与否随机会而定”的事件。机会表,现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，,到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。,例如，掷一枚骰子出现的点数,X,就是一个随机,变量，它可以取,1,2,3,4,5,6,的六个值，到底取哪个值,要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验,结果的函数。,概率论与数理统计,引例,1,设随机试验,E,：,抛一枚硬币，观察正面,H,与反面,T,的出现情况。,样本空间为,=,H,，,T,，,现在我们将,试验的每个结果,(,样本点,),与一个实数建立联系,即相当于在,上定义一个函数,:,这样一来,“,出现正面,H”,的事件为,X=1,“,出现反面,T”,的事件为,X=0,且易知,概率论与数理统计,引例,2,设随机试验,E,：,测试灯泡寿命,(,小时,).,样本空间为,=,t|t0,，,现在我们将,试验的灯泡寿命记为,X,令,事件“灯炮寿命在,1000,2500,小时”就可表示为,则,X,是定义在样本空间为,=,t|t0,上的函数，其值域,为,|,且取值具有随机性,.,概率论与数理统计,一、随机变量,X=X(,),(,),为,随机变量,记为,r.v.X.(random variable X),。,定义,1,设随机试验,E,的样本空间为,=,称定义在,上,单值实值函数,随机变量是定义在样本空间,上的单值实值函数,且以一定的概率随机地取每个值,.,随机变量通常用大写字母,X,Y,Z,或希腊字母,.,等表示,.,概率论与数理统计,普通函数的定义域是实数,集,而随机变量的定义域是样本空,间,(,样本点不一定为实数,);,随机变量与普通函数的区别,普通函数随自变量的变化所取的函数值无概,率可言,而随机变量随样本点,(,试验结果,),的变化所取,的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得,随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取,值范围,但在一次试验前无法确定它取何值,.,概率论与数理统计,用随机变量来描述随机事件,一般,对于任意实数集,L,随机变量,X,在,L,上取值,记,为,XL,它表示事件,|X(,),L,即一切使随机变量,X,取值在,L,上的样本点所构成的事件,从而,在随机试验,E,的样本空间,上定义了一个随机变量后，就可以利用它来表示随机事件。,可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概,念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。,概率论与数理统计,例,:,在试验,E:“,掷一枚骰子,观察出现的点数”中,如果定义随机变量,X=k(,=“,出现,k,点”,k=1,2,3,4,5,6),则事件“,出现偶数点,”就可表示为,显然,X1,3,5,表示“,出现奇数点,”,X1,为,不可能事件,XR,为,必然事件,等等,.,X2,4,6,事件“,出现,3,点,”就可表示为,X=3.,概率论与数理统计,总之，随机变量,X,有,如下,特点,:,X,是定义在样本空间,上的单值实值函数,其定,义域为样本空间,值域为实数集,;,利用,X,可以描述随机事件,;,X,的取值是随机的,且取值具有一定的概率,.,随机变量,离散型,非离散型,连续型,其它,概率论与数理统计,在实际问题中，有两类重要的随机变量：,1,、离散型随机变量,取值有限或可列无限,实例,1,观察掷一个骰子出现的点数。随机变量,X,的可,能值是,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,；则事件“出现偶数,点”就可以表示为,XL=,|X(,)L,其中,L=2,4,6,；事件“出现,3,点”可表示为,X=3,；,X1,为不肯能事件；,XR,为必然事件；,实例,2,若随机变量,X,记为“连续射击，直至命中时的,射击次数”，则,X,可能值,1,，,2,，,3,，,概率论与数理统计,2,、连续型随机变量,取值充满一个区间,实例,1,随变量,X,为“灯泡的寿命“，则,X,的取值,范围为,;,实例,2,随机变量,X,为“测量某零件尺寸时的测量误,差”，,X,的取值范围为,(a,b),的任意值。,概率论与数理统计,二、分布函数,定义,2,设,X,为随机变量,x,为,任意实数,函数,称为随机变量,X,分布函数,。,分布函数,F(x),是随机事件,Xx,的,概率,它是一,个,普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量,.,随机点,实数点,定义域为全体实数,概率论与数理统计,问：在上 式中，,X,x,皆为变量,.,二者有什么区,别？,x,起什么作用？,F(x),是不是概率？,X,是随机变量,x,是参变量,.,F(x),是,r.v X,取值不大于,x,的概率,.,概率论与数理统计,由定义，对任意实数,x,1,x,2,，,随机点落,在区间,（,x,1,x,2,的概率为,：,P,x,1,X,x,2,=P,X,x,2,-,P,X,x,1,=,F,(,x,2,),-,F,(,x,1,),因此，只要知道了随机变量,X,的分布函数，,它的统计特性就可以得到全面的描述,.,概率论与数理统计,分布函数,F(x),具有下列性质,:,、,0F(x)1;,、,F(-)=0,F(+)=1,；,确定待定参数,、,F(x),至多有可列个间断点,且在间断点处是,右连续函数。,确定待定参数,注意这些性质在图形上的表现,、,F(x),是单调不减函数,即当,x,1,x,2,时有,F(x,1,)F(x,2,),。,、,PaXb=,F(b)-F(a,),分布函数计算概率,函数,F(x),为一个随机变量的分布函数的充要条件,是,F(x),满足上述前,4,条。,概率论与数理统计,重要公式,证明,概率论与数理统计,【,例,1,】,设随机变量,X,的分布函数为,试求,:(1),系数,A,，,B,；（,2,）,X,落在（,-1,，,1,中的概率。,解,（,1,）因为,F(-)=0,，,F(+)=1,所以,解得,概率论与数理统计,（,2,）由分布函数得,分布函数完全刻画了随机变量的统计规律性。利,用分布函数可以计算随机事件的概率。,概率论与数理统计,【,例,2,】,已知随机变量,X,在整个实数轴上取值，其,分布函数为：,其中 为常数，求常数,A,，,B,的值。,解,由分布函数的性质可知,F(+)=A=1,，,由分布函数的右连续性可知,F(0)=A+B=0,解得,A=1,，,B=-1,概率论与数理统计,请同学们思考,不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗,?,答,不一定,.,例如抛均匀硬币,令,概率论与数理统计,