应力和应变分析和强度理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 应力和应变分析和强度理论,二 主平面和主应力,主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.,主应力:主平面上的正应力.,约定,1,2,3,主方向:主平面外法线方向.,或平行于主应力的方向.,三 应力状态分类,按主应力不为零个数划分为:,简单应力状态:单向应力状态1个主应力不为零.,复杂应力状态:二向应力状态2个主应力不为零.,三向应力状态3个主应力不为零.,2,3,1,9-1 应力状态概念,一 一点的应力状态,1 一点的应力状态概念,点的概念:指明是哪点的应力.,面的概念:过一点哪个方向面,上的的应力.,一点的应力状态:一个点各个,方向面上的应力情况.,2 一点的应力状态的表示方法,(1)空间应力状态:9个分量6个独立.,(2)平面应力状态:4个分量3个独立.,(3)单向应力状态:1个分量.,x,y,z,xy,xz,yx,yz,zy,zx,第九章 应力和应变分析 强度理论,x,y,xy,yx,9-2 二向和三向应力状态实例,圆形薄壁容器(,t,D,/20),其内压为,p,筒底总压力,p,D,t,p,为二向应力状态,=,1,=,2,p,p,y,x,d,L,9-3 二向应力状态分析解析法,1 斜截面上的应力,x,xy,y,yx,yx,y,x,xy,n,t,N,=0,dA,+,xy,dA,cos,sin,-,x,dA,cos,cos,+,yx,dA,sin,cos,-,y,dA,sin,sin,=0,T,=0,dA,-,xy,dA,cos,cos,-,x,dA,cos,sin,+,yx,dA,sin,sin,+,y,dA,sin,cos,=0,xy,=,yx,x,y,xy,yx,dA,dA,sin,dA,cos,2 主平面和主应力,直接判定法:,把单元体对称分,为四个象限,剪应力箭头所指,交线象限内的主方位角对应的,主应力为极大值,另一个为极,小值.,c,t,取主方位角,0,和,0,+,/2,代入斜截面公式,求得主应力,令,主方位角和主应力的对应关系,的判定方法直接判定法,3 极大极小剪应力及其所在平面,4 讨论,(1),(2),(3),1，2,+,2，3,=,x,+,y,=,+,+,/2,取极大极小剪应力所在平面方位角,1,和,1,+,/2,代入斜截面公式,求得极大极小剪应力,和,令,9.4 二向应力状态分析图解法,1 应力圆(莫尔圆),(3),(2)二式平方,称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中,为变量.,相加得,(1),(2),(3),为圆心,半径,的圆方程.,2 应力圆的画法,所在位置D,按比例量取,OA,=,x,AD,=,xy,确定D点.,(2)确定y平面及其应力大小所在位置D,按比例量取,OB,=,y,BD=,yx,确定D,点.,(3)确定圆心位置,画应力圆,连接,DD,交,轴于,C,以为,CD,半径画,应力圆.,x,y,xy,yx,D(,x,xy,),D(,y,yx,),C,A,B,O,E,(,),F,圆心座标,半径,1,2,max,x,y,xy,yx,x,y,xy,yx,已知:,x,=80MPa,y,=-40MPa,xy,=-60MPa,yx,=60MPa.,求:(1)画出单元体;(2)主应力;(3)主方向.,解,:(1),画出单元体,(2)解析法,0,=22.5,0,或者 112.5,0,主单元体图示,(3)图解法,作应力圆图示,量得,1,=105MPa,3,=-65MPa,0,=22.5,0,或者 112.5,0,D,(-40 60),C,O,D,(80-60),1,3,1,3,22.5,112.5,x,y,xy,yx,9.5 三向应力状态,一 应力圆方程,x,1,2,3,y,z,p,x,p,y,z,t,1,2,3,y,x,z,n,n,n,设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n,且,l,2,+,m,2,+,n,2,=1 (1),X,=0,p,x,dA,-,1,ldA,=0,Y,=0,p,y,dA,2,mdA,=0,Z,=0,p,z,dA,3,ndA,=0,p,x,=,1,l,p,y,=,2,m,p,z,=,3,n,又有,p,=,n,2,+,n,2,n,=,p,x,l,+,p,y,m,+,p,z,n,=,1,l,2,+,2,m,2,+,3,n,2,(2),n,2,=,p,2,-,n,2,=,1,2,l,2,+,2,2,m,2,3,2,n,2,-,n,2,(3),2,y,1,3,x,z,总应力,p,9.5 三向应力状态,一 应力圆方程,x,1,2,3,y,z,p,x,p,y,p,z,t,1,2,3,y,x,z,n,n,n,2,y,1,3,x,z,应力圆方程,二 应力圆,D,(,),1,2,3,0,12,13,23,1 三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.,2 三个应力圆的区域,(1),l,2,(,1,-,2,)(,1,-,3,)0,第一个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).,(2),m,2,(,2,-,3,)(,2,-,1,)0,第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(黄色).,(3),n,2,(,3,-,1,)(,3,-,2,)0,第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(粉红色).,三个圆周围成的区域中任一点D表示任意斜截面上的应力.,3 最大最小正应力,max,=,1,min,=,3,4 主剪应力,9.6平面应变状态分析,一 平面应变状态分析,y,x,x,y,在xoy座标下应变为,x,y,xy,旋转,角度,在xoy座标下应变为,9.6平面应变状态分析,一 平面应变状态分析,比较转轴公式,比较斜截面应力公式,三套公式类似,y,x,x,y,在xoy座标下应变为,x,y,xy,旋转,角度,在xoy座标下应变为,二 主应变和主应变方向,主应变,三 应变的实测,实测中,xy,不易测定,可先测定,三个选定方向的线应变计算,联立解出,x,y,xy,实测中常用的有 直角应变花和等应变花,60,60,60,60,120,0,x,y,45,45,0,45,90,max,min,=,9.7 广义胡克定律,1 广义胡克定律,y,x,z,xy,xz,yx,yz,zy,zx,xy,x,y,yx,z,yz,zy,zx,xz,+,=,a,b,棱边改变,形状改变,a,a,c,c,角度改变剪应变,以上六式称为广义胡克定律,棱边改变线应变,1,3,2,x,y,xy,yx,3 平面问题,2 主应变,或,其中,4 体积应变,变形前体积,V,=,dxdydz,变形后体积,V,1,=(1+,1,)(1+,2,)(1+,3,),dxdydz,=(1+,1,+,2,+,3,),dxdydz,1,2,3,dx,dy,1,dx,dz,2,dy,3,dz,单位体积改变,称为体积应变,令,-体积弹性模量,-平均应力,简单应力状态比能,三向应力状态比能,1,2,3,m,m,m,1,-,m,2,-,m,3,-,m,=,+,体积改变,形状改变,体积改变比能,9.8 复杂应力状态的变形比能,形状改变比能,例 导出各向同性线性材料常数E,G,之间的关系.,解:纯剪切时,1,=,2,=0,3,=-,变形比能,三向应力状态比能,两式相等,(1),(2),7.10 强度理论概述,一 材料的破坏形式,(1)塑性屈服,(2)脆性断裂,二 应力状态对材料破坏形的影响,(1)拉伸带切口的低碳钢,发生脆性断裂的原因:切口尖端材料处于三向拉应力状态.,(2)压缩加围压的大理石,发生塑性屈服的原因:材料处于三向压应力状态.,1,2,=,3,3,3,2,=,1,=,p,1,p,p,P,应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式.,如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.,如:拉伸铸铁,扭转铸铁.,极限应力,u,和,u,是直接由实验测得,而建立的强度条件.,不考虑材料破坏的原因.,2 复杂应力条件下的强度条件,(1)提出假说,例如:常用的四个强度理论就基于如下假说,a 材料的某一破坏是由某一特定因素引起的.,b 无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏,是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建,立复杂应力状态下的强度条件.,(2)建立强度准则,(3)实践检验,三 强度条件的建立,1 简单应力条件下的强度条件,9.9 常用的四个强度理论,实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷,工具钢等.,实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等.,脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.,1 最大拉应力理论(第一强度理论),引起材料破坏的主要原因:,max,=,b,=,u,强度条件,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论),引起材料破坏的主要原因:,max,=,1,=,u,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,实用范围:塑性A3材料,如A,3,45钢,銅,铝等.,实用范围:塑性A3材料,如A,3,45钢,銅,铝等.,引起材料破坏的主要原因:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,3 最大剪应力理论(第三强度理论),4 形状改变比能理论(第四强度理论),引起材料破坏的主要原因:,简单应力状态下,1,=,s,2,=0,3,=0,复杂应力状态下,强度条件,5 相当应力,其中,i,=1、2、3、4,1,2,3,=,安全程度,r,1,2,3,试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力 与许用拉应力之间的关系.,解:纯剪切实为二向拉压应力状态:,1,=,2,=,0,3,=-,脆性材料,第一强度理论,1,=,第二强度理论,1,-,(,2,+,3,),取,=0.25,=(0.8-1.0),第三强度理论,1,-,3,+,=2,=0.5,第四强度理论,0.6,=,0.6,=(0.5-0.6),塑性材料,+,=(1+,),