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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,快速抢答！,sinc(,x,),d,(,x-,1)=,tri(,x,),d,(,x+,0.5)=,sinc(,x,),*,d,(,x-,1)=,tri(,x,),*,d,(,x+,0.5)=,0,sinc(,x-,1),1,x,2,0,1,0.5,d,(,x+,0.5),1,x,0,-1,1,0.5,-0.5,tri(,x+,0.5),0,-0.5,1,0.5,-1.5,x,恩格斯,(Engels),把,傅里叶,的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔,(Hegel),的辩证法相提并论.,他写道：,傅里叶,是一首数学的诗，,黑格尔是一首辩证法的诗.,第一章 二维线性系统分析,Analysis of 2-Dimensional Linear System,1-2,二维傅里叶变换三角傅里叶级数,第一章 二维线性系统分析,Analysis of 2-Dimensional Linear System,1-2,二维傅里叶变换三角傅里叶级数,满足狄氏条件的函数,g,(,x,)具有有限周期,t,可以在(-,+),展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开,三角傅里叶展开的例子,前3项的和,周期为,t,=1的方波函数,a,n,f,n,0,1,3,频谱图,1/2,2/,p,-2/3,p,三角傅里叶展开的例子,练习 0-15：求函数,g,(,x,)=rect(2,x,),*,comb(,x,),的傅里叶级数展开系数,周期,t,=1,宽度=1/2,频率,f,0,=1,采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。,1-2 二维傅里叶变换,指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数,g,(,x,)具有有限周期,t,可以在(-,+),展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,1-2 二维傅里叶变换,指数傅里叶级数,思考题,利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,从傅里叶级数到傅里叶变换,函数(满足狄氏条件)具有有限周期,t,可以展为傅里叶级数:,展开系数C,n,频率为,n/,t,的分量,n,级谐波频率:,n/,t,相邻频率间隔:,1,/,t,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,从傅里叶级数到傅里叶变换,非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:,由于,t,分立的,n,级谐波频率,n/,t,f,f,:连续的频率变量,相邻频率间隔:,1,/,t,0,写作,df,求和,积分,展开系数,或频率,f,分量的权重,G,(,f,),相当于分立情形的,C,n,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,一、定义及存在条件,函数,f,(,x,y,)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数,为函数,f,(,x,y,)的傅里叶变换,记作:,F,(,f,x,f,y,)=,f,(,x,y,),=F.T.,f,(,x,y,),或,f,(,x,y,),F,(,f,x,f,y,),F.T.,f,(,x,y,):原函数,F,(,f,x,f,y,),:像函数或频谱函数,变换核,积分变换:,傅里叶变换的核:,exp(-,j,2,p,fx,),1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,一、定义(续),由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,f,(,x,y,),和,F,(,f,x,f,y,),称为傅里叶变换对,记作:,f,(,x,y,)=,-1,F,(,f,x,f,y,).,显然,-1,f,(,x,y,)=,f,(,x,y,),综合可写:,f,(,x,y,),F,(,f,x,f,y,),F.T.,F.T.,-1,x,(,y,),和,f,x,(,f,y,),称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,一、定义(续),描述了各频率分量的相对幅值和相移.,x,y,f,x,f,y,均为实变量，,F,(,f,x,f,y,),一般是复函数,F,(,f,x,f,y,),=,A,(,f,x,f,y,),e,j,f,(,fx,fy,),振幅谱,位相谱,F,(,f,x,f,y,)是,f,(,x,y,)的频谱函数,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.,例:,g,(,x,y,)=1,在(-,+)不可积,对某个可变换函数组成的系列取极限,不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限,原来函数的广义F.T.,可定义:,g,(,x,y,)=lim rect(,x,/,t,)rect(,y,/,t,),t,则,g,(,x,y,)=lim rect(,x,/,t,)rect(,y,/,t,),t,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,二、广义 F.T.,根据广义傅立叶变换的定义和,d,函数的定义:,g,(,x,y,)=lim,t,2,sinc(,t,f,x,)sinc(,t,f,y,)=,d,(,f,x,f,y,),t,则,rect(,x,/,t,)rect(,y,/,t,)=,t,2,sinc(,t,f,x,)sinc(,t,f,y,),1=,d,(,f,x,f,y,),按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.,rect(),思考题:利用 rect(,x,)=sinc(,f,),计算,重要推论:,rect(,x,)=sinc(,f,x,),1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换,特别适合于圆对称函数的F.T.,依F.T.定义:,极坐标变换,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,极坐标下的二维傅里叶变换,令:,则在极坐标中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,傅里叶-贝塞尔变换,圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为,G,(,r,)=,g,(,r,),g,(,r,)=,-1,G,(,r,),当,f,具有园对称性，即仅是半径,r,的函数:,f,(,x,y,)=,g,(,r,q,)=,g,(,r,).依F.T.定义:,利用贝塞尔函数关系,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,傅里叶-贝塞尔变换,例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.,定义:,是圆对称函数,作变量替换,令,r,=2,p,r,r,并利用:,1-2,二维傅里叶变换2-D,Fourier Transform,三.虚、实、奇、偶函数的 F.T.,将频谱函数,G,(,f,)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换),然后根据,g,(,x,)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.,注意:并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.,例:rect(,x,)(实、偶)sinc(,f,x,)(实、偶),F.T.,但是,rect(,x-,1)(实、非偶)复函数,F.T.,1-2,二维傅里叶变换 2-D,Fourier Transform,四、F.T.定理-F.T.的基本性质,1.线性定理 Linearity,设,g,(,x,y,),G,(,f,x,f,y,),h,(,x,y,),H,(,f,x,f,y,),F.T.,F.T.,2.空间缩放 Scaling(相似性定理）,a,g,(,x,y,)+,b,h,(,x,y,)=,a,G,(,f,x,f,y,)+,b,H,(,f,x,f,y,),F.T.是线性变换,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,四、F.T.定理,空间缩放,注意空域坐标,(,x,y,),的,扩展(,a,b,1),导致频域中坐标,(,f,x,f,y,),的,压缩,及频谱幅度的变化.反之亦然.,g,(,x,),x,0,1,/2,-1,/2,1,g,(,ax,),a,=2,x,0,1,/4,-1,/4,1,f,G,(,f,),0,1,-1,1,f,0,2,-2,1/2,空域压缩,F.T.,F.T.,频域扩展,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,四、F.T.定理,3.位移定理 Shifting,g,(,x-a,y-b,)=,G,(,f,x,f,y,)exp-,j,2,p,(,f,x,a+f,y,b,),设,g,(,x,y,),G,(,f,x,f,y,),F.T.,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,g,(,x,y,)exp,j,2,p,(,f,a,x+f,b,y,)=,G,(,f,x,-,f,a,f,y,-f,b,),空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,推论:,由,1=,d,(,f,x,f,y,),exp,j,2,p,(,f,a,x+f,b,y,)=,d,(,f,x,-,f,a,f,y,-f,b,),复指函数的F.T.是移位的,d,函数,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,四、F.T.定理,4.帕色伐(Parseval)定理,若,g,(,x,)代表加在单位电阻上的电流或电压,则,|,g,(,x,)|,2,dx,代表信号的总能量(或总功率),|,G,(,f,),|,2,代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),设,g,(,x,y,),G,(,f,x,f,y,),F.T.,Parseval定理说明,信号的能量由|,G,(,f,)|,2,曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,四、F.T.定理-,Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对,x,求积分:,利用复指函数的F.T.,利用,d,函数的筛选性质,思考题:,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,四、F.T.定理,5.卷积定理,空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.,g,(,x,y,),*,h,(,x,y,)=,G,(,f,x,f,y,),.,H,(,f,x,f,y,),设,g,(,x,y,),G,(,f,x,f,y,),h,(,x,y,),H,(,f,x,f,y,),F.T.,F.T.,g,(,x,y,),.,h,(,x,y,)=,G,(,f,x,f,y,),*,H,(,f,x,f,y,),空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.,亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,1-2,二维傅里叶变换,Fourier Transform,卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,
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