多元函数的极限与连续性

单击此处编辑母版标题样式,*,第二节、多元函数的极限和连续性,一、多元函数的极限,二、多元函数的连续性,三、小结、思考题,四、作业,极限,，,定义2.1,设函数,的定义域为,任意,给定的,正数,，总,存在正数,使得当,时，,都有,时的,则称,为函数,当,一、多元函数的极限,对于,是,D,的,聚点,若存在常数,记为,（1）,定义中 的方式是,任意的,；,（2）,二元函数的极限也叫,二重极限,。,（3）,二元函数的极限运算法则与一元函数类似,(4),二元函数极限的概念可相应的推广到,n,元函,数上去。,说明：,或,也可记为,或,例3,求证,证,当 时，,原结论成立,例4,求极限,解,其中,例,证明,不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法,：,（1）,若,极限值与,k,有关，,则可断言,极限不存在,；,（2）,找,两种不同趋近方式,，,存在，,但两者,不相等,，,令,P,(,x,y,),沿,y=kx,趋向于,使,此时也可断言,在点,处,极限不存在,例,证明：极限,不存在。,证：,时，,沿任意直线,趋于,分析：,故,不存在。,沿任意曲线,时，,趋于,例,二元函数,当,时，,其余部分。,讨论,在原点的极限。,如图所示，,任何直线趋于原点时，,都趋于,沿抛物线,趋于原点时，,都趋于,所以极限,不存在。,当,沿,当点,相应的,解,：,零;,处连续。,点,间断点,。,二、多元函数的连续性,定义2.3,是其,聚点,且,如果,则称,元函数,在,如果,若函数 在 内每一点都连续，,函数 在,上连续,。,则称,设,元函数,的定义域为点集,设,0,P,是函数,的定义域的聚点，,在点,处不连续，,则称,是函数,的,例8,讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,故函数 在(0,0)处连续.,例9,讨论函数,在(0,0)的连续性,解,故函数 在(0,0)处连续.,（1）,一元函数中关于连续函数的运算法则，,对于多元函数仍适用，,积、商（分母不为零）仍连续,，,复合函数也连续,。,如：,都在,其自然定义域上连续。,（2)与一元初等函数类似，,能用,一个算式表示,的多元函数，,这个算式由常,多元连续函数的,注,因此,多元连续函数的和、差、,多元初等函数,是指,等都是多元初等函数。,量及其不同自变量的,一元基本初等函数,限次的四则运算和复合运算,而得到，,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,重要结论,：,一切多元初等函数在其定义区域内,是连续的,。,如：,经过有,解,例,设,求,点,P,0,处连续，,数,，,时，,一般地，求,如果,是,初等函,0,),(,f,P,P,的定义域内,的,点，,是,且,),(,P,f,在,则,于是,闭区域上连续函数的性质,上,有界,，,（1）有界性与最大值最小值定理,在,有界闭区域,D,上的,多元连续函数,，,（2）介值定理,在,有界闭区域,D,上的,多元连续函数,，,必在,D,且能取得它的,最大值和最小值,。,在,D,上取得,介于最大值和最小值之间的任何值,。,必定,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的,任意性,）,小结,思考题,若点,沿着无数多条平面曲线趋向于点,时，函数,都趋向于,A,，,能否断定,？,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,若取,的图形,练 习 题,二、求下列各极限：,1.,2.,三、证明：,四、证明极限：,不存在。,3.,练习题答案,作业,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,