Fourier级数的性质及收敛定理的证明

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,收敛定理,:,光滑,则在每一点,的傅里叶级数收敛,于,f,在点,x,的左、右极限的算术平均值,即,其中,为,的傅里叶系数.,定理,若以 为周期的函数,在,上按段,1,1.5.3 Fourier级数的性质,定理1,(,贝塞尔(Bessel)不等式,),若函数,f,在,上可积,则,为,其中,的傅里叶系数.,(1),式称为Bessel不等,式.,2,证,令,考察积分,由于,根据Fourier系数公式可得,3,根据Fourier系数公式可得,对于,的积分.应用三角函数系的正交性,有,4,将,(3),(4),代入,(2),，可得,因而,它对任何正整数,m,成立.而,为有限值,所以正项级数,的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式,(1),成立.,5,推论1,若,f,为可积函数,则,因为(1)的左边级数收敛,所以当,时,通项,亦即有,与,这就是,(5),式,这个推论称为,Riemann引理,.,6,证,由于,所以,推论,2,若,f,为可积函数,则,7,其中,式右端两项积分的极限在,时都等于零.所以,左边的极限为零.,同样可以证明,显见 与 和,f,一样在 上可积.由推论,1,(7),8,当,t,=,0,时,被积函数中的不定式由极限,来确定.,上可积,则它的傅里叶级数的部分和,可写成,定理2,若,是以,2,为周期的函数,且 在,9,证,在傅里叶级数部分和,中,用傅里叶系数公式代入,可得,10,令,得,因此在,上的积分等于,上的积,分,再由下,式,即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为,的函数,11,就得到,(8),式也称为,f,的,傅里叶级数部分和的积分表达式,.,12,现在证明(,收敛定理,).重新叙述如下:,光滑,则在每一点,的傅里叶级数收敛,于,f,在点,x,的左、右极限的算术平均值,即,其中,为,的傅里叶系数.,定理,若以 为周期的函数,在,上按段,13,证,只要证明在每一点,x,处下述极限成立:,即,或证明同时,有,14,与,先证明,(10),式.对,(9),式积分后得到,15,由于上式左边为偶函数,因此两边乘以,后,又得到,16,从而,(10),式可改写为,令,17,取极限得到,则函数,在点,再令,右连续.,因,为,在 上至多只有有限个第一类间断点,所以 在 上可积.根据定理,1,和推论,2,18,这就证得,(12),式成立,从而,(10),式成立.,用同样方法可证,(11),也成立.,19,