第五章微扰理论1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 微扰理论,引言,1,非简并定态微扰理论,2,简并微扰理论,3,变分法,（一）近似方法的重要性,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：,（,1,）一维无限深势阱问题；,（,2,）线性谐振子问题；,（,3,）势垒贯穿问题；,（,4,）氢原子问题。,这些问题都给出了问题的精确解析解。,然而，对于大量的实际物理问题，,Schrodinger,方程能有精确解的情况很少。通常体系的,Hamilton,量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。,引 言,（二）近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。,（三）近似解问题分为两类,（,1,）体系,Hamilton,量不是时间的显函数,定态问题,1.,定态微扰论；,2.,变分法。,（,2,）体系,Hamilton,量显含时间,状态之间的跃迁问题,1.,与时间,t,有关的微扰理论；,2.,常微扰。,1,非简并定态微扰理论,（一）微扰体系方程,（二）态矢和能量的一级修正,（三）能量的二阶修正,（四）微扰理论适用条件,（五）讨论,（六）实例,微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。,例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。,可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系,Hamilton,量不显含时间，而且可分为两部分：,（一）微扰体系方程,H,(0),所描写的体系是可以精确求解的，其本征值,E,n,(0),，,本征矢,|,n,(0),满足如下本征方程：,另一部分,H,是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于,H,(0),上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后,Hamilton,量,H,的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的,Schrodinger,方程：,当,H,=0,时，,|,n,=|,n,(0),E,n,=E,n,(0),；,当,H,0,时，引入微扰，使体系能级发生移动，由,E,n,(0),E,n,，,状态由,|,n,(0),|,n,。,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中,是很小的实数，表征微扰程度的参量。,因为,E,n,、,|,n,都与微扰有关，可以把它们看成是,的函数而将其展开成,的幂级数：,其中,E,n,(0),E,n,(1),2,E,n,(1),.,分别是能量的,0,级近似，能量的一级修正和二级修正等；,而,|,n,(0),|,n,(1),2,|,n,(2),.,分别是状态矢量,0,级近似，一级修正和二级修正等。,代入,Schrodinger,方程得：,乘开得：,根据等式两边,同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式,:,整理后得：,上面的第一式就是,H,(0),的本征方程，第二、三式分别是,|,n,(1),和,|,n,(2),所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。,现在我们借助于未微扰体系的态矢,|,n,(0),和本征能量,E,n,(0),来导出扰动后的态矢,|,n,和能量,E,n,的表达式。,(1),能量一级修正,E,n,(1),根据力学量本征矢的完备性假定，,H,(0),的本征矢,|,n,(0),是完备的，任何态矢量都可按其展开，,|,n,(1),也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：,a,kn,(1),=,代回前面的第二式并计及第一式得：,左乘,为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢,|,n,的归一化条件证明上式展开系数中,a,n n,(1),=0,（,可以取为,0,）。,基于,|,n,的归一化条件并考虑上面的展开式，,证：,由于,归一，,所以,a,n n,(1),的实部为,0,。,a,n n,(1),是一个纯虚数，故可令,a,n n,(1),=i,（,为实）。,上式结果表明，展开式中，,a,n n,(1),|,n,(0),项的存在只不过是使整个态矢量,|,n,增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取,=0,，即,a,n n,(1),=0,。,这样一来，,与求态矢的一级修正一样，将,|,n,(2),按,|,n,(0),展开：,与,|,n,(1),展开式一起代入 关于,2,的第三式,（三）能量的二级修正,左乘态矢,m,(0),|,1.,当,m=n,时,在推导中使用了微扰矩阵的厄密性,正交归一性,2.,当,m n,时,能量的二级修正,在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：,总结上述，,在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：,欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：,这就是本节开始时提到的关于,H,很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。,（四）微扰理论适用条件,微扰适用条件表明：,（,2,）,|E,n,(0),E,k,(0),|,要大，即能级间距要宽。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数,n,2,成反比，即,E,n,=-Z,2,e,2,/2,2,n,2,(n=1,2,3,.),由上式可见，当,n,大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（,n,大）的修正，而只适用于计算低能级（,n,小）的修正。,（,1,）,|,H,kn,|=|,要小，即微扰矩阵元要小；,表明扰动态矢,|,n,可以看成是未扰动态矢,|,k,(0),的线性叠加。,（,2,）展开系数,H,k n,/(E,n,(0),-E,k,(0),),表明第,k,个未扰动态矢,|,k,(0),对第,n,个扰动态矢,|,n,的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态,|,k,(0),混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。,（,3,）由,E,n,=E,n,(0),+,H,n,n,可知，扰动后体系能量是由扰动前第,n,态能量,E,n,(0),加上微扰,Hamilton,量,H,在未微扰态,|,n,(0),中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（,4,）,对满足适用条件,微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正,H,n n,=0,就需要求二级修正，态矢求到一级修正即可。,（,5,）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量,，,令：,H,=H,(1),只是为了便于将扰动后的定态,Schrodinger,方程能够按,的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，,就可不用再明显写出，把,H,(1),理解为,H,即可，,因此在以后讨论中，,就不再明确写出这一小量,。,（,1,）,在一级近似下：,（五）讨论,例,1.,一电荷为,e,的线性谐振子，受恒定弱电场,作用。电场沿,x,正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（,1,）电谐振子,Hamilton,量,将,Hamilton,量分成,H,0,+H,两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,（,2,）写出,H,0,的本征值和本征函数,E,(0),n,(0),（,3,）计算,E,n,(1),上式积分等于,0,是因为被积函数为奇函数所致。,（六）实例,（,4,）计算能量,二级修正,欲计算能量二级修正，,首先应计算,H,k n,矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,对谐振子有；,E,n,(0),-E,n-1,(0),=,E,n,(0),-E,n+1,(0),=-,，,代入,由此式可知，能级移动与,n,无关，即与扰动前振子的状态无关。,（,6,）讨论：,1.,电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元,计算二级修正：,代入能量二级修正公式：,2.,电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系,Hamilton,量作以下整理：,其中,x,=x,e/,2,，,可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低,e,2,2,/2,2,，,而平衡点向右移动了,e/,2,距离。,由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数,n,已变成,n,(0),n+1,(0),n-1,(0),的叠加看出。,例,2.,设,Hamilton,量的矩阵形式为：,（,1,）设,c 1,，,应用微扰论求,H,本征值到二级近似；,（,2,）求,H,的精确本征值；,（,3,）在怎样条件下，上面二结果一致。,解：,（,1,）,c 1,，,可取,0,级和微扰,Hamilton,量分别为：,H,0,是对角矩阵，是,Hamilton H,0,在自身表象中的形式。所以能量的,0,级近似为：,E,1,(0),=1 E,2,(0),=3 E,3,(0),=-2,由非简并微扰公式,得能量一级修正：,能量二级修正为：,准确到二级近似的能量本征值为：,设,H,的本征值是,E,，,由久期方程可解得：,解得：,(3),将准确解按,c(1),展开：,比较（,1,）和（,2,）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计,c,4,及以后高阶项的结果相同。,(2),精确解：,作 业,周世勋,量子力学教程,5.3,