资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、偏导数概念及其计算,二、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,一、偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点,x,0,处的振动速度与加速度,就是,中的,x,固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x,0,处,关于,t,的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,同样可定义对,y,的偏导数,若函数,z=f,(,x,y,)在域,D,内每一点,(,x,y,)处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,y,偏导数存在,例如,三元函数,u=f,(,x,y,z,)在点(,x,y,z,)处对,x,的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数定义为,(请自己写出),二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点,M,0,处的切线,对,x,轴的斜率.,在点,M,0,处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对,y,轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点,不一定连续,.,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,在上节已证,f,(,x,y,),在点,(0,0),并不连续,!,例1.,求,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,证:,例3.,求,的偏导数.,解:,求证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数记号是一个,例4.,已知理想气体的状态方程,求证:,证,:,说明:,(,R,为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,整体记号,二、高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,)在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，,z=f,(,x,y,)关于,x,的三阶偏导数为,z=f,(,x,y,)关于,x,的,n,1 阶偏导数,再关于,y,的一阶,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数为,例5.,求函数,解,:,注意:,此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,例如,二者不等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,证明 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,例如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),说明:,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(,x,y,z,),连续,时,有,而初等,(证明略),证:,令,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,令,同样,在点,连续,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义,;,记号,;,几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,设,方程,确定,u,是,x,y,的函数,连续,且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
展开阅读全文