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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、极限的四则运算法则,则,定理 1.5,若,(1),(2),若,B,0,则有,(3),若,则有,注,运算法则,有相应的结论.,及,x,时函数极限的四则,例如,对于数列极限,对于数列极限,有以下结论:,数列是一种,特殊的函数,故此结论可,由,定理1.5,直,接得出.,(极限运算的线性性质),若,以上运算法则对,有限个,函数成立.,推论,和,是常数，则,于是有,幂的极限等于极限的幂,结论：,为非负常数),对于,式中自变量的,最高次幂（,抓大头,）,然后再求极限.,的极限，可以先给分子、分母同除以分,内容小结,1.极限的运算法则,(1)极限的四则运算法则,(2)复合函数的极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去零因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法：,设中间变量，变量代换.,或先有理化后约分,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,4.无穷小与无穷大的关系,3.无穷小的比较及无穷大的比较,常用等价无穷小:,5.等价无穷小替换定理,内容小结,2.单侧连续,左连续；,右连续.,定理,2.间断点的分类,间断点,振荡,同时存在,可去,跳跃,无穷,其他,类,第,一,至少有一个,不存在,第,二,类,根据：,注,1,初等函数仅在其,定义区间上,连续,在其,定义域内,不一定,连续;,如：,即函数在定义域内,在点,x,=0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,定义域内的点,全部是孤立点，,因此它在,x,=0,处,不连续，,从而在其定义域内不连续.,因此,在每个点都不连续.,每个点的去心邻域(邻域半径小于2,)内均无定义,1,若区间是开区间,定理不一定成立;,2,若区间内有间断点,定理不一定成立.,注,f,(,x,)在0,2上无最大值和最小值,推论,(有界性定理),在闭区间上连续的函数在该区,间上一定有界.,2,一般地，,如：,注意此记号的含义,四、导数基本公式、初等函数的导数,1.常数和基本初等函数的导数公式,3.函数的和、差、积、商的求导法则,(,C,为常数,),2.双曲函数及反双曲函数的导数公式,4.反函数的求导法则,内容小结,直接对方程两边求导,2.,对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除,乘方,开方表示的函数,由参数方程所,确定的函数求导法,用极坐标方程给出的函数求导,转化,1.,隐函数求导法则,由此结果可得下列重要结论:,(1),若,为自然数,n,则,2.归纳法:,n,阶导数的一般表达式.,逐阶求出若干阶导数后,再,归纳出,例2,解,(3),若,=1,则,由上式易得,(其中,a,为常数),(2),只要自然数,mn,就有,3.利用已知高阶导数法,常用高阶导数公式：,5.由参数方程所确定的函数求高阶导数举例,若参数方程,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,中,?,已知,注意:,三、高阶导数的运算法则,都有,n,阶导数,则,(,C,为常数),莱布尼茨,(Leibniz),公式,及,设函数,用数学归纳法可证,莱布尼,茨,公式,成立.,事实上,内容小结,1.,逐阶求导法,2.,利用归纳法,3.,间接法,利用已知的高阶导数公式,4.,利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法：,如,5.,求由参数方程确定的函数的高阶导数时,从,低到高每次都用参数方程求导公式.,直接法,1.基本初等函数的微分公式,(见 p.118 表),二、微分的基本公式及运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,)均可微,则,(,C 为常数),2.函数的和、差、积、商的微分法则,二、罗尔(Rolle)中值定理,满足,：,(1)在闭区间,a,b,上连续,；,(2)在开区间,(,a,b,),内可导,；,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),，,使得,在(,a,b,)内至少存在一点,定理3.1,（Rolle中值定理）,若,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,定理3.2,（拉格朗日中值定理）,(1)在闭区间,a,b,上连续；,(2)在开区间,(,a,b,),内可导；,使得,在,(,a,b,),内至少存在一点,满足：,若,定理3.3,（柯西中值定理）,至少存在一点,使得,(1)在闭区间,a,b,上连续；,(2)在开区间(,a,b,)内可导；,(3)在开区间(,a,b,)内,四、柯西(Cauchy)中值定理,及,满足:,若,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,费马引理,第二节,洛必达法则,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第三章,型未定式极限的,洛比达,法则,存在(或为,),定理 3.4,设,(洛必达法则),一、,1,洛必达法则,(证明略),适合于任一自变量极限过程，如：,，,或,的情形，,满足相应于,定理3.4,的条件,只要函数,注,即可.,型未定式,极限,的洛比达法则,存在(或为,),定理 3.5,设,(洛必达法则),二、,三、其他未定式的极限,关键:,将其他类型未定式,转化,为洛必达法则可以,解决的类型：,有,5 种：,洛必达法则,.,对于其他,未定式，不能直接使用.,解决方法:,1.弧的微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,内容小结,3.常见的选,u=,(,x,),规律,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),常见的选,u=,(,x,),规律,(续),常见的选,u=,(,x,),规律,(续),常见的选,u=,(,x,),规律,(续),(,k,为常数),三、基本积分表（）,（或,（或,3.,基本积分公式的补充,内容小结,求不定积分的方法：,恒等变形、拆项分解.,如，,1.利用不定积分的性质,技巧：,“分子迎分母”等；,(1)降低幂次.,如，利用倍角公式；,2.利用第一类换元积分法(凑微分法),技巧：,(2)熟悉常见的换元规律;,(3)从,被积函数中拿出某个因式求导数，,若,这个导数恰是剩下的其他因式(最多相差一个常数),则这个因式可作为,u,=,(,x,).,
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