多元分布的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元分布的基本概念,一、随机向量,二、分布函数与密度函数,三、多元变量的独立性,四、随机向量的数字特征,在研究社会、经济现象和许多实际问题时，经常遇到多指标的问题。例如研究职工工资构成时，计时工资、基础工资与职务工资、各种奖金、各种津贴等都是同时需要考察的指标；又如在研究公司的运营情况时，要涉及公司的资金周转能力、偿债能力、获利能力及竞争能力等财务指标，这些都是多指标的研究问题。显然，仅研究某个指标或将这些指标割裂开来分别研究，都不能从整体上把握所研究问题的实质。一般地，假设我们所研究的问题涉及p 个指标，n次观测，这将会得到np个数据，我们的目的就是对观测对象进行分组、分类或分析、考察这p个变量之间的相互关联程度，或找出内在规律等。下面我们简要介绍多元分析中涉及的一些概念。,一、随机向量,我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测p个指标（即变量），又进行了n次观测得到的，我们把这p个指标表示为 常用向量,表示对同一个体观测的p个变量。若观测了n个个体，则可得到np个数据，称每一个个体的p个变量为一个样品，而全体n个样品形成一个样本。,因此，样本资料可用矩阵语言表示为,定义一,设 为p个随机变量，由它们组成的向量,称作随机向量,。,二、分布函数与密度函数,（一）、多元概率分布,1、多元概率分布函数,随机向量 的概率分布函数定义为,2、分布函数的性质,非,降的右连续函数；,分布函数的取值范围为0，1，即,分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即,（二）、两个常用的离散多元分布,1、多项分布,则称 服从多项分布。,2、多元超几何分布,则 服从多元超几何。,（三）、多元概率密度,1、定义,随机向量 的分布函数可以表示为,则称 为连续型随机向量。称,为的多元概率密度函数。,若 在点 连续，则,（四）、边际分布,设有连续随机向量,不妨设 是 的q个分,量组成。则 的分布为,所以 的边际密度为,例 有概率密度函数,试分别求 的边际密度。,三、多元变量的独立性,1、定义,设 和 是两个随机向量，若,对一切 、成立，则称 和 相互独立。,2、设 和 是两个连续随机向量，和 相互,独立，当且仅当,或,对一切 、成立。,3、设 是 个随机向量，若,对一切 成立，则 相互独立。,例 设X=(x,1,x,2,x,3,)有概率密度函数,试证 x,1,x,2,x,3,相互独立。,四、随机向量的数字特征,设 有p个分量。若,存在，我们定义随机向量X的均值为,（一）、,随机向量X的均值,是由随机变量构成的随机矩阵。,是一个p维向量，称为均值向量。,2、性质,1）,设,为常数，则 ；,2）设 分别为常数矩阵，则,3）设,为 个同阶矩阵，则,（二）、协方差矩阵,1、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为,2、性质,1）,若(x,1,x,2,，x,p,)和(y,1,y,2,，y,p,)相互独,立。则,若(x,1,x,2,，x,p,)的分量相互独立,则协方差,矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即,2）随机向量X的协方差矩阵,是非负定矩阵。,证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则,3、若(x,1,x,2,，x,p,)和(y,1,y,2,，y,p,)分别是p和q维随机,向量,，A和B为常数矩阵，则,三、相关系数矩阵,若(x,1,x,2,，x,p,)和(y,1,y,2,，y,p,)分别是p和q维随机,向量,，则其相关系数矩阵为,若随机向量 的协方差阵存在，且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为：,也称为分量 和 之间的相关系数。,