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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.3三角函数的图象与性质,基础梳理自测,考点探究突破,基础梳理自测,构建能力大厦的奠基石,知识梳理,1.周期函数及最小正周期,对于函数,f,(,x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个,值时,都有,则称,f,(,x,)为周期函数,T,为它的一个周期.若在所,有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做,f,(,x,)的最小正周,期.,答案：f(x+T)=f(x),函数,y,=sin,x,y,=cos,x,y,=tan,x,图象,定,义,域,x,R,x,R,x,R且,x,+,k,k,Z,值域,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,单调性,在,上,递增,k,Z;,在,上,递减,k,Z,在,上,递增,k,Z;,在,上,递减,k,Z,在,上,递增,k,Z,最值,x,=,(,k,Z)时,y,max,=1;,x,=,(,k,Z)时,y,min,=,-,1,x,=,(,k,Z)时,y,max,=1;,x,=,(,k,Z)时,y,min,=,-,1,无最值,奇偶性,对,称,性,无对称轴,最小正,周期,答案：y|,-,1,y,1y|,-,1,y,1,R,(2,k,-,1),2k,2k,(2k+1),+2,k,-,+2,k,2k,+2k,奇偶奇(k,0),k,Z,k,Z,k,Z,x=k,+,k,Z,x=k,k,Z,2,2,基础自测,1.下列函数中,在,上是增函数的是().,A.,y,=sin,x,B.,y,=cos,x,C.,y,=sin 2,x,D.,y,=cos 2,x,答案：,D,2.函数,y,=cos,的图象的一条对称轴方程是,().,A.,x,=,-,B.,x,=,-,C.,x,=,D.,x,=,答案：,B,3.函数,f,(,x,)=tan,x,(,0)的图象的相邻的两支截直线,y,=,所得线段长,为,则,f,的值是().,A.0B.1C.,-,1D.,答案：,A,4.已知函数,y,=sin,x,的定义域为,a,b,值域为,则,b,-,a,的值不可能是,().,A.,B.,C.D.,答案：,A,提示:不一定.如常数函数,f,(,x,)=,a,每一个非零数都是它的周期.,2.正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关,键点有什么关系?,提示:,y,=sin,x,与,y,=cos,x,的对称轴方程中的,x,都是它们取得最大值或最,小值时相应的,x,.对称中心的横坐标都是它们的零点.,思维拓展,1.是否每一个周期函数都有最小正周期?,考点探究突破,拓展升华思维的加油站,(1),y,=,;,(2),y,=sin,2,x,+2sin,x,cos,x,+3cos,2,x,.,一、求三角函数的定义域和值域,【例1】求下列函数的值域.,解:(1)y=,=2,sin,x(1,-,sin,x)=,-,2,+,.,-,1,sin,x,1,y,即值域为,.,(2)y=,sin,2,x+2,sin,x,cos,x+3,cos,2,x=,+,sin,2x+,=,sin,2x+,cos,2x+2=,sin,+2.,故函数值域为2,-,2+,.,2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:,(1)利用sin,x,cos,x,的值域;,(2)形式复杂的函数应化为,y,=,A,sin(,x,+,)+,k,的形式逐步分析,x,+,的范,围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;,(3)换元法:把sin,x,或cos,x,看作一个整体,可化为求函数在区间上的值,域(最值)问题.,请做针对训练1,方法提炼1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角,不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,【例2,-,1】已知函数,f,(,x,)=sin,2,x,+2,sin,cos,-,cos,2,x,-,.求函数,f,(,x,)的最小正周期和单调递减区间.,二、三角函数的单调性,解:f(x)=,sin,2,x+2,sin,cos,-,cos,2,x,-,=2,sin,2,-,cos,2x,-,=,sin,2x,-,cos,2x=2,sin,所以,T,=,=,.,由2k,+,2,x,-,2,k,+,(k,Z,),得k,+,x,k,+,(,k,Z,).,所以函数f(x)的最小正周期为,单调递减区间为,(,k,Z,).,【例2,-,2】(2011重庆高考,理16)设,a,R,f,(,x,)=cos,x,(,a,sin,x,-,cos,x,)+cos,2,满足,f,=,f,(0),求函数,f,(,x,)在,上的最大值和最小值.,解:f(x)=a,sin,x,cos,x,-,cos,2,x+,sin,2,x=,sin,2x,-,cos,2x.,由f,=,f,(0)得,-,+,=,-,1,解得,a,=2,.,因此f(x)=,sin,2x,-,cos,2x=2,sin,.,当x,时,2,x,-,f,(,x,)为增函数,当x,时,2,x,-,f,(,x,)为减函数,所以f(x)在,上的最大值为f,=2.,又因f,=,f,=,故f(x)在,上的最小值为f,=,.,方法提炼1.熟记,y,=sin,x,y,=cos,x,y,=tan,x,的单调区间是,求复杂的三角函数单调区间的基础.,2.求形如,y,=,A,sin(,x,+,)+,k,的单调区间时,只需把,x,+,看作一个整体代,入,y,=sin,x,的相应单调区间即可,注意,A,的正负以及要先把,化为正数.,求,y,=,A,cos(,x,+,)+,k,和,y,=,A,tan(,x,+,)+,k,的单调区间类似.,请做针对训练2,三、三角函数的周期性和奇偶性,【例3,-,1】设函数,f,(,x,)=cos,x,(,sin,x,+cos,x,),其中0,2.,(1)若,f,(,x,)的周期为,求当,-,x,时,f,(,x,)的值域;,(2)若函数,f,(,x,)的图象的一条对称轴为,x,=,求,的值.,解:f(x)=,sin,2x+,cos,2x+,=,sin,+,.,(1)因为T=,所以=1.,当,-,x,时,2,x,+,所以f(x)的值域为,.,所以2,+,=,k,+,(,k,Z,).,=,k,+,(,k,Z).,又0,2,所以,-,k,1,又,k,Z,所以k=0,=,.,(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x=,.,【例3,-,2】(2011天津高考,理15)已知函数,f,(,x,)=tan,.,(1)求,f,(,x,)的定义域与最小正周期;,(2)设,若,f,=2cos 2,求,的大小.,f(x)的最小正周期为,.,解:(1)由2x+,+,k,k,Z,得x,+,k,Z,所以f(x)的,定义域为,.,因此(,cos,-,sin,),2,=,即,sin,2=,.,由,得2,.,所以2=,即,=,.,(2)由f,=2,cos,2,得,tan,=2,cos,2,=2(,cos,2,-,sin,2,),整理得,=2(,cos,+,sin,)(,cos,-,sin,).,因为,所以,sin,+,cos,0.,方法提炼1.求三角函数周期的方法:,(1)利用周期函数的定义;,(2)利用公式:,y,=,A,sin(,x,+,)和,y,=,A,cos(,x,+,)的最小正周期为,y,=tan,(,x,+,)的最小正周期为,;,(3)利用图象.,2.三角函数的对称性:,正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数,的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意,数形结合思想的应用.,请做针对训练3,本课结束,谢谢观看,
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