平面图形的面积

,*,7.2,平面图形的面积,1,小结 思考题 作业,直角坐标,下平面图形的面积,7.2,平面图形的面积,极坐标下平面图形的面积,今天的口水就是明天的眼泪,学习的痛苦是暂时的,学不到的痛苦是终生的,2,回忆,的几何意义,:,曲边梯形的面积,.,启示,一般曲线围成区域的面积如何计算,?,定积分,下面曲线均假定是,连续,曲线,.,注,等于介于,y,=,f,(,x,),直线,x=a,x=b,与,x,轴之间,3,求这两条曲线及,直线,x,=,a,x,=,b,所围成的区域的,面积,A.,面积微元,d,A,为,它对应的,(1),即,区间,一、直角坐标,下平面图形的面积,设在区间,a,b,上,曲线,y,=,f,(,x,),位于曲线,y,=,g,(,x,),的上方,在,a,b,上任取一个,小,4,(2),由曲线,x,=,f,(,y,),和直线,y,=,c,x,=,d,所围成的区域的,面积,A.,面积微元,d,A,为,它对应的,区间,x,=,g,(,y,),在,c,d,上任取一个,小,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,若选 为积分变量呢？,6,例,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组,:,交点,面积微元,法一,选 为积分变量,?,确定积分限,7,法二,选,y,为积分变量,面积微元,8,(3),平面图形,(,如图,),面积为,?,设,f,(,x,),、,g,(,x,),在,a,b,上连续,则曲线,y,=,f,(,x,),、,y,=,g,(,x,),与直线,x,=,a,x,=,b,所围成的,解,两曲线的交点,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,11,解,曲线的参数方程为,由对称性,作变量代,换,例,其中,总面积等于,4,倍第一象限部分面积,.,不易积分,.,12,解,面积,练习,作变量代,换,求摆线,(,旋轮线,),与,x,轴所围图形的面积,.,13,面积微元,曲边扇形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积,A,.,和射线,曲边扇形,二、,极坐标下平面图形的面积,14,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,例,求双纽线,所围平面图形的面积,.,15,解,利用,对称性,知,例,求心形线,所围平面图形的,面积,16,解,求交点,由对称性,2,例,求心形线,的公共部分的面积,.,所围图形与圆盘,17,解,交点,由对称性,是双纽线方程,.,极坐标方程,:,极坐标方程,:,练习,18,求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形,(,注意恰当的,选择积分变量,有助于简化积分,分平面图形的方法有,:,分竖条,分横条,分成扇形,分成圆环,.,的面积,.,运算,),三、小结,思考题,思考题解答,x,y,o,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,22,解,求由抛物线,与过焦点的弦所围成的图形,设,记,面积的最小值,.,焦点,焦点,(,变,),弦,(1),(2),求交点,练习,23,(3),设,因为,S,(,k,),单减,所以,求由抛物线,与过焦点的弦所围成的,图形面积的最小值,.,24,作业,习题,7.2(251,页,),25,练习,解,利用对称性知,的公共部分面积,.,26,解,两曲线的交点,画草图,练习,27,思考题,位置无关,.,分别,表示从点,向抛物线,引出的两条切线的切点,.,在点,的切线方程,:,即,又,解,28,于是切线,的方程分别为,所围图形的,面积为,可见,A,与,x,0,无关,A,与点,P,(,x,0,y,0,),位置无关,.,29,答案,(1),成的面积最小,.,(2),之间图形面积,.,答案,练习,30,解,之间图形面积,.,对称性,所求面积,A,为在第一象限中,由直线,x,轴,及椭圆,所围图形面积的,8,倍,.,将椭圆,化为,极坐标,方程,.,(2),练习,将,代入椭圆,得,31,