正交小波基与多分辨分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,4,正交小波基与多分辨分析,正交小波,多分辨分析,小波函数和小波空间,信号空间,L2(R),的分解,双尺度方程,标准正交小波基的构造,滤波器系数,h(k),和,g(k),的性质,Mallat,快速算法,紧支集正交小波的性质,正交小波,定义：,设有允许小波,，记,，,其中,为任意的整数。如果函数族,构成空间,的标准正交基,则称,是正交小波,母函数或简称正交小波,称为正交小波基。,函数族,正交小波,对任意,，存在唯一的展式：,其中,称为,的,小波系数,正交小波级数分解,小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离,散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正,交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。,正交小波,两个正交小波的例：,例,4.1,经过二进伸缩与平移可得到,是,的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯,函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好,Haar,小波,正交小波,Shannon,小波,的一切平移所生成的函数系,构成了子空间,的一个标准正交基,尺度函数,令,，则,具有标准正交基,例,4.2,正交小波,且对任意,有,于是,正交小波,令,在时域，,Shannon,小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。,它的整的平移族,的标准正交基,的标准正交基,对任意,Shannon,小波基,多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间,1.,单调性：,2.,逼近性：,3.,伸缩性：,4.,平移不变性：,5.Riesz,基存在性：,多分辨分析,参考子空间,V,2,V,1,V,0,多分辨分析,由条件,(5),可证明如下定理,从而可构造正交尺度函数,的标准正交基,注：,定理：,正交基，事实上可取下式定义的函数,：,存在函数,，使得,构成,的标准,的一个标准正交基,由此说明可由,的闭子空间,的,Riesz,基,小波函数和小波空间,设,是正交多分辨分析，将,中的正交补子空间记作,，则,从而得到,的一系列闭子空间,满足：,V,2,V,1,V,0,W,2,W,1,称为,小波函数,，,称为尺度为,j,的,小波空间,(,细节空间,),信号空间,L,2,(R),的分解,假设由母小波,产生的小波函数,空间的,标准正交基，令：,细节分量,近似分量,(,t),(,),a,b,(t),a,b,(,),中心,t,0,0,at,0,+b,0,/,a,有效宽度,D,t,D,aD,t,D,/a,使用,db1,小波对一维信号,leleccum,进行,3,层分解，得到近似分量和细,节分量，如图示,图,4-1,例,4.3,双尺度方程,双尺度方程,频域表示,标准正交小波基的构造,尺度函数的性质：,低通滤波器,带通滤波器,标准正交小波基的构造,H(,),和,(),的,关系：,标准正交小波基的构造,H(,),的条件：,标准正交小波基的构造,G(,),的条件：,H(,),与,G(,),的联合条件：,标准正交小波基的构造,两尺度序列,h,n,的条件：,标准正交小波基的构造,h,n,和,g,n,的关系：,标准正交小波基的构造,1,、选择满足条件的两尺度序列,h,n,2,、计算尺度函数,3,、计算母小波,滤波器系数,h(k),和,g(k),的性质,Mallat,快速算法,Mallat,塔式快速分解算法,Mallat,塔式快速重构算法,Mallat,算法结构示意图,Mallat,快速算法,Mallat,快速算法,初始系数的选取,首先根据实际信号,，确定逼近空间,，然后选取,最小，即,中的最佳逼近。初始函数的选取，本质上是系数,1,、小波变换法,2,、直接选取法,3,、取样函数法,其中尺度函数的支撑区间是,0,L,，且尺度函数连续,只作不同频带的信号分解时可用该法，不适于提取分形指数和作时频分析,其中,Mallat,快速算法,边界效应,实际的数字信号总是有限长序列，而大多数小波滤波,器的长度都大于,1,，所以,mallat,算法在信号的边界上必然将,滤波器强行截去一部分后再作用于这个有限长序列来实现,小波分解。这样，经过后续处理后重构得到的信号与原始,信号不可避免的在边界上产生较大的误差。,边界延拓,设实际的数字信号长度为,N,，即,c=c0,c1,cN-1,，又,设滤波器的长度为,m,。进行小波分解时只需要在信号的两,端个延拓,L,个元素即可，其中,L,为,m/2,的上整数,(,大于,m/2,的,最小整数,),。,Mallat,快速算法,零延拓,简单的周期延拓：,N,长序列以,N,为周期进行延拓,缺点：若输入信号在边界点的值与零有很大的差别，补零,在边界处产生很大的阶跃变化，从而给这一局部引,入大量的高频成分；数据量增加,缺点：当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信,号将存在周期性的剧烈突变，在边界附近引入高频,成分,Mallat,快速算法,以边界点为对称中心的周期延拓,延拓后信号一个周期内有两个对称中心。,当采用有限长滤波器,c(n),对延拓后的信号进行滤波时，输出信号也是周期为,2N-2,的周期序列。,如果,c(n),不具有任何对称性，那么输出信号将没有输入信号那样的对称性，为了完全重构，必须取一个完整的长度,2N-2,的主周期，然后下采样，使计算量增大了几乎一倍。,1.,将信号,延拓为,2.,将,作以,2N-2,的周期延拓,Mallat,快速算法,但滤波器有对称性，输出序列具有对称性。,此时为了完全重构，只需保留,0,N-1,的数据，不需要保留整周期的数据。,此时输出序列以,-0.5,和,N-1.5,为对称中心，也可只取,0,N-1,的数据,若滤波器的长度为,偶数,时，输出序列具有如下的对称性：,若滤波器的长度为,奇数,时，输出序列具有如下的对称性：,Mallat,快速算法,边界值重复的周期延拓,采用偶数长的对称滤波器时，输出序列的对称关系为：,可只取半个主周期,0,N-1,的数据，然后下采样,(,丢弃独立的样本值,x(N),，但并不影响下采样,),采用奇数长的对称滤波器时，输出序列的对称性为：,此时输入序列是以,-0.5,和,N-0.5,为对称中心的偶对称序列,与前面方法不同的是，在作对称延拓时重复原信号的边界值，使得,s(n),成为一个长度为,2N,的对称序列,设三个频率为,4Hz,，,6Hz,，,29Hz,的正弦波叠加为,设采样区间为,0,1,，采样间隔为,2,-8,秒，采样点数为,256,，,所得离散信号为,F(k)=f,0,f,1,f,255,，其中,f,k,=f(k/256),由于,2,8,=256,，可取,c,8,k,mf(k/2,8,),，,由于重构时还需要除以,m,，所以可取,c,8,k,f(k/28),采用简单的周期延拓,采取,db4,小波,要求对信号分解与滤波，从中滤去,29Hz,的成分,例,4.4,解：,重构过程也进行周期延拓,利用,db5,小波对一维信号,leleccum,进行,3,层多尺度分解和重构。,例,4.5,原始信号、近似信号、细节信号及重构信号的图形见图,4-2,、,4-3,、,4-4,。,解：,重构后的误差为,err=1.6717e-009,图,4-2,图,4-3,图,4-4,紧支集,正交小波的性质,消失矩,小波的消失矩特性在实际应用其重要的作用。例如，在数据压缩中，,如果小波函数的消失矩越高，则压缩倍数越大,下面分析小波系数,和消失矩的关系。,对于给定的小波函数,称小波,M,阶消失矩,设,是由尺度函数,生成的多分辨分析，并且,的标准正交基，,的标准正交基，且有,紧支集,正交小波的性质,由于,假设,点是充分光滑的，则由,taylor,展式，有,其中,点的主要部分，而,是余项，一般很小,对于给定的,N,，由于,Db,小波,具有,N,阶消失矩，从而有,因此，对于给定的信号,经小波分解后，小波系数,的绝对值,都很小。根据需要。将小于某一阈值的系数,设为零，就可以达到数,据压缩的作用。,紧支集,正交小波的性质,光滑性,