信号与系统微分算子方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 连续信号与系统的时域分析,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 连续信号与系统的时域分析,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 连续信号与系统的时域分析,1,微分算子和积分算子,p,称为,微分算子,，,1/,p,称为微分逆算子或,积分算子,。,系统的微分算子方程,例：,以,p,的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。,设,A,(,p,),和,B,(,p,),是,p,的正幂多项式，则,性质,1,性质,2,微分算子的运算性质,微分算子方程等号两边,p,的公因式不能随便消去。,不能随意消去公因子,p,而得到,y(t),=,f(t),的结果。,因为,y(t),与,f(t),之间可以相差一个常数,c,。,也不能由方程,通过直接消去方程两边的公因式,(,p,+,a,),得到,y(t),=,f(t),性质,3,例如，方程,性质,4,设,A(p),B(p),和,D(p),均为,p,的正幂多项式,但是,2 LTI,系统的微分算子方程,对于,LTI,n,阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数,n,阶微分方程。若系统输入为,f(t),，输出为,y,(,t,),，则可表示为,用微分算子,P,表示可写成,或缩写为,微分算子方程,传输算子,传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称,H(p,),为响应,y(t),对激励,f(t),的传输算子或系统的传输算子。,用,H,(,p,),表示的系统输入输出模型,例,1,：,设某连续系统的传输算子为,写出系统的输入输出微分方程,例,2,：,已知系统框图，,求系统的传输算子。,解,设中间变量,x,(,t,),，左端加法器列方程,右端加法器,电路系统算子方程的建立,表,2.2,电路元件的算子模型,在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。,3,：零输入响应算子方程,设系统响应,y,(,t,),对输入,f,(,t,),的传输算子为,H,(,p,),，且,系统的特征多项式,y,(,t,),和,f,(,t,),满足的算子方程为,y,x,(,t,),满足的算子方程为,系统的特征方程：,简单系统的零输入响应,简单系统,1,若,A,(,p,)=,p,-,，则,y,x,(,t,)=,c,0,e,t,简单系统,2,若,A,(,p,)=(,p,-),2,，则,y,x,(,t,)=(,c,0,+,c,1,t,)e,t,。,例 某系统输入输出微分算子方程为,已知系统的初始条件,y(0,-,)=3,y(0,-,)=-6,，,y(0,-,)=13,求系统的零输入响应,y,x,(,t,),。,解,由题意知,A,(,p,)=(,p,+1)(,p,+2),2,其一阶和二阶导函数为,令,t,=0,-,并考虑到,y(0,-,)=3,y(0,-,)=-6,，,y(0,-,)=13,代入初始条件值并整理得,第二步,，,求,出第,i,个根 对应的零输入响应,y,xi,(,t,),第三步,，,将所有的,y,xi,(,t,)(,i,=1,2,l,),相加,，得到系统的零输,入响应，即,第四步,，,由给定的零输入响应初始条件 或者,0,-,系统的初始条件,，,确定常数,第一步,，将,A,（,p,）进行,因式分解,，即,一般,n,阶,LTI,连续系统零输入响应的求解步骤：,4,：基本信号,(t),激励下的零状态响应,1.,冲激响应,一个初始状态为零的,LTI,连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称,冲激响应,，记为,h,(,t,),，,如图所示：,2.,冲激响应的计算,设,LTI,连续系统的传输算子为,H,(,p,),，,H,(,p,),h,(,t,),简单系统,1,简单系统,2,将上面的结果推广到特征方程,A,(,p,)=0,在,p,=,处有,r,重根的情况,简单系统,3,综上所述,可以得到系统冲激响应的一般步骤是：,第一步：确定系统的传输算子,H(p);,第二步：将,H(p),进行部分分式展开写成如下形式：,第三步：根据,H(p),公式求解,第四步：将所有 相加，得到系统的冲激响应,例,2.5-4,已知某连续系统的微分方程为,若系统的初始条件,y,(0,-,)=,y,(0,-,)=1,，输入,f,(,t,)=e,-,t,(,t,),，求系统的零输入响应,y,x,(,t,),，零状态响应,y,f,(,t,),和完全响应,y,(,t,),。,解,(2),求零状态响应,(3),完全响应,系统的零状态响应,例,:,描述某,LTI,系统的微分方程为,已知 求该系统的零输入响应和零状态响应。,A,(,p,)=,p,2,+3,p,+2,，,可得系统的零输入响应为,代入初始条件值，有,联立求解得,c,10,=5,c,20,=-2,