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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,柱坐标系中的拉普拉斯方程：,通解为：,若仅与,r,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,若仅与,j,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,若仅与,z,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,双层介质的同轴电缆,【,例,1】,已知同轴电缆内、外半径分别为,R,1,、,R,2,，中间充有两种均匀各向同性的介质，其电容率分别为,e,1,和,e,2,，分界面为柱面，其半径为,R,3,，已知内外电极间的电压为,U,0,，求空间的电势分布和场强分布？,R,2,R,3,R,1,e,2,e,1,F,2,F,1,F,1,，,F,2,设两种介质中势函数分别,为,U,0,球坐标系中的拉普拉斯方程：,通解为：,式中球谐函数,若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：,通解为：,若具有球对称性，,F,与,q,j,无关,只取,n,=0,项：,若讨论的问题仅与,q,有关,则拉普拉斯方程变为：,解为：,O,R,1,R,2,R,3,Q,F,1,F,2,图,3.8-1,带电导体球壳中的导体球,n,1,n,2,e,r,【,例,2】,一个内径和外径分别为,R,2,和,R,3,的导体球壳，带电量,Q,，同心的包围着一个半径为,R,1,的导体球（,R,1,R,2,）,如图。若使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感生电荷。,设导体球壳外电势为,F,1,，,壳内为,F,2,x,y,z,O,P,F,2,a,e,1,F,1,e,2,r,图,3.8-2,均匀电场中的介质球体,q,E,0,【,例,3】,一半径为,a,，电容率为,e,2,的介质球体，放在均匀外电场,E,0,中，球外充满电容率为,e,1,的另一种均匀介质，如图。求球内外的电势分布。,设介质球外电势为,F,1,，,球内为,F,2,勒让德多项式：,n,P,n,(cos,q,),0,1,1,cos,q,2,3,4,5,解的物理意义,：,（,1,）球外电势由两部分叠加：,匀强电场产生的电势极化电荷产生的电势,电偶极子产生的电势,与球心处,的电偶极子产生的电势等效,（,2,）球内电势也由两部分叠加：,匀强电场产生的电势极化电荷产生的电势,极化电荷在球内产生的为匀强场，对应的电场强度为,a,x,y,z,O,P,F,2,e,1,F,1,e,2,r,q,E,0,若仅与,r,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,若仅与,j,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,若仅与,z,有关,拉普拉斯方程为：,解为：,若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：,通解为：,若具有球对称性，,F,与,q,j,无关,只取,n,=0,项：,若讨论的问题仅与,q,有关,则拉普拉斯方程变为：,解为：,若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：,通解为：,若具有球对称性，,F,与,q,j,无关,只取,n,=0,项：,若讨论的问题仅与,q,有关,则拉普拉斯方程变为：,解为：,缔合勒让德多项式：,勒让德多项式：,
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