用函数观点看一元二次方程(第1课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,26.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时）,问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度,h,（单位：m）与飞行时间,t,（单位：s）之间具有关系,h,=20,t,5,t,2,考虑以下问题：,（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？,（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？,（4）球从飞出到落地需要用多少时间？,（2）解方程,2020,t,5,t,2,t,2,4,t,4=0,t,1,=,t,2,=2,当球飞行2s时，它的高度为20m,t,1,=2s,20m,（3）解方程,20.520t5t,2,t,2,4t4.1=0,因为（4）,2,44.10，所以方程无解,球的飞行高度达不到20.5m,20m,所以可以将问题中,h,的值代入函数解析式，得到关于,t,的一元二次方,程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中,h,的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中,h,的值,解：（1）解方程,1520,t,5,t,2,t,2,4,t,3=0,t,1,=1，,t,2,=3,当球飞行1s和3s时，它的高度为15m,分析：由于球的飞行高度,h,与飞行时间,t,的关系是二次函数,h,=20,t,5,t,2,t,1,=1s,t,2,=3s,15m,15m,（4）解方程,020t5t,2,t,2,4t=0,t,1,=0,t,2,=4,当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面,0,从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切,一般地，我们可以利用二次函数,y=ax,2,+bx+c,深入讨论一元二次方程,ax,2,+bx+c=,0,例如，已知二次函数,y,=,x,2,4,x,的值为3，求自变量,x,的值，,可以解一元二次方程,x,2,4,x,=3（即,x,2,4,x,+3=0）,反过来，解方程,x,2,4,x,+3=0 又可,以看作已知二次函数,y,=,x,2,4,x,+3 的值为0，求自变量,x,的值,观 察,下列二次函数的图象与,x,轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当,x,取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？,（1）,y,=,x,2,x,2,（2）,y,=,x,2,6x,9,（3）,y,=,x,2,x,1,（1）抛物线,y,=,x,2,x,2与,x,轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当,x,取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程,x,2,x,20的根是2，1.,（2）抛物线,y,=,x,2,6,x,9与,x,轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当,x,=3 时，函数的值是0由此得出方程,x,2,6,x,90有两个相等的实数根3.,（3）抛物线,y,=,x,2,x,1与,x,轴没有公共点，由此可知，方程,x,2,x,10没有实数根,1,y,=,x,2,6x,9,y,=,x,2,x,1,y,=,x,2,x,2,（2）二次函数的图象与,x,轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共,点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，,有两个相等的实数根，有两个不等的实数根,一般地，从二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象可知,（1）如果抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,与,x,轴有公共点，公共点的横坐标是,x,0,，那么当,x,=,x,0,时，函数的值是0，因此,x,=,x,0,就是方程,ax,2,+,bx,+,c,=0 的一个根,二次函数与一元二次方程,(3).二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程,ax,2,+bx+c,=0的根有什么关系?,二次,函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和x轴交点,一元二次方程,ax,2,+bx+c,=0的根,一元二次方程,ax,2,+bx+c,=0根的判别式,=,b,2,-4ac,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4ac,0,有一个交点,有两个相等的实数根,b,2,-4ac,=0,没有交点,没有实数根,b,2,-4ac,0,一、二次函数图象与一元二次方程根的关系,1、一元二次方程ax2bxc0（a0）的判别式为：b24ac。二次函数的解析式为：yax2bxc（a0）,（1）当0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；,（2）当0时，二次函数的图象与x轴有一个交点；,（3）当0时，二次函数的图象与x轴有无交点。,2、若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两根为x1、x2，则二次函数：yax2bxc（a0）与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且两个交点之间的距离为：,|AB|x1x2|。,3、若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两根为x1、x2，则二次函数：yax2bxc（a0）的对称轴为：x,由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的,例,利用函数图象求方程,x,2,2,x,2=0 的实数根,解,：作,y,=,x,2,2,x,2的图象，它与,x,轴的公共点的横坐标大约,是0.7，2.7.,所以方程,x,2,2,x,20的实数根为,x,1,0.7，,x,2,2.7,2,2,2,4,6,4,4,8,2,4,y,=,x,2,2,x,2,(2.7,0),(0.7,0),1.汽车刹车后的距离,S,（单位：m）与行驶时间,t,（单位为：s）的函数关系式,S,=15,t,6,t,2,，汽车刹车后停下来行驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？,解：由函数关系可得：,5=15,t,6,t,2,解方程得,x,1,0.98,x,2,28.75（不符合实际舍去）,所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s,2.一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为,S,（单位：m）与滑行的时间,t,（单位：s）的函数关系式是,S,=1.8,t,+0.064,t,2,，他通过这段山坡需要多长时间？,解：由函数关系可得：,85=1.8,t,+0.064,t,2,解方程得,t,1,=25,t,2,=53.125（不符合实际舍去）,他通过这段山坡需要25秒的时间,1、若二次函数yx,2,4xc的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c_.(写出一个),2、若关于的函数 的图像与坐标轴有两个交点，则a可取的值为,。,3、已知二次函数 求证：无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点；,4、二次函数yx,2,3x的图象与x轴两个交点的坐标分别为（）,（A）（0,0），（0,3）（B）（0,0），（3,0）,（C）（0,0）,（3,0）（D）（0,0），（0,3）,5、二次函数yx,2,2x3与x轴两个交点之间的距离为,6、已知二次函数：yax,2,bxc（a0）的顶点坐标为（1,3.2）及部分图象如图所示，由图象可知一元二次方程ax,2,bxc0的两根分别是x,1,1.3和x,2,。,已知抛物线,y,ax,2,2,x,c,经过点(1，0)、(0，3),（1）求此抛物线解析式，并在直角坐标系中画出这条抛物线,例,2,：,X,y,X,-2,-1,0,1,2,3,4,y,=,-,X,2,+2X+3,-5,0,3,4,3,0,-5,（2）,x,取何值时，,y,随,x,的增大而增大；,x,取何值时，抛物线在,x,轴的上方；,x,取何值时，,y,随,x,的增大而减小且,y,0；当0,x,1,x,2,2时，,y,1,y,2,你认为其中正确的个数有（）,A2 B3,C4 D5,