高等数学课件D7-8常系数非齐次线性微分方程

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为,m,次多项式,.,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q,(,x,),为,m,次待定系数多项式,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,即,即,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,例,1.,的一个特解,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,例,2.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,二、,第二步,求出如下两个方程的特解,分析思路,:,第一步,将,f,(,x,),转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程的特解,第四步,分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,),变形,第二步,求如下两方程的特解,是特征方程的,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭,:,为方程,的特解,.,设,则,有,特解:,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,:,原方程,均为,m,次多项式,.,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式,.,本质上为实函数,小 结,:,对非齐次方程,则可设特解,:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,例,4.,的一个特解,.,解,:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例,5.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程,:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例,6.,解,:,(1),特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2),特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,内容小结,为特征方程的,k,(,0,1,2),重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,0,1),重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示,:,1.,(,填空,),设,作业,P347 1(1),(6),(10);,2(2);,3,