数学物理方法傅里叶变换法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,积分变换法,积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，,方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微,方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，,同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数,法或者傅里叶级数发往往不能。,本章主要介绍,傅里叶变换法,在求解偏微分方程中的应用。,2,傅里叶变换,（,1,）导数定理,（,2,）积分定理,（,3,）相似性定理,3,（,4,）延迟性定理,（,5,）位移性定理,（,6,）卷积性定理,4,第一节 傅里叶变换法,用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是,例,1,求解无限长弦的自由振动,解：,应用傅里叶变换，即用,同乘方程和定解条件,中的各项，并对空间变量,x,积分，,t,看做参数，则,分,，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。,连续,的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的,傅里叶积,无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是,离散的，所求的解可表为对本征值求和的,傅里叶级数,，对于,5,定解问题变换成：,其中,分别是,的傅里叶变换，这样原来,的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：,代入初始条件可得：,故,对,U,作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：,6,达朗贝尔公式,例,2,求解无限长细杆的热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为：,此常微分方程的初始问题的解为,进行傅里叶逆变换可得：,7,交换积分次序,积分公式：,8,例,3,求解无限长细杆的有源热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：,令,利用上述公式可得,9,用,同乘方程各项，可得：,对,t,积分一次，并考虑零初始值可得：,进行傅里叶逆变换,交换积分次序可得：,10,是单位面积硅片,表层原有杂质总量,.,并利用积分公式可得最后的结果为：,例,4,限定源扩散,在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可,硅片，这里求解的是半无界空间,x0,中的定解问题,:,有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入,以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已,11,解,:,没有杂质穿过硅片表面,即,:,第二类齐次边界条件,这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题,则,引用例,2,结果可得,高斯函数,12,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例,5,恒定表面浓度扩散,在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体,中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由,即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片,.,度趋于均匀,曲线下的面积为,2,3,依次对应越来越晚的时刻,杂质浓,的分布情况,曲线,1,对应于较早的时刻,是半无界空间,x0,中的定解问题,于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数,N,0,这里所求,13,解,首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令,则化为关于,w,的定解问题,:,这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即,引用例,2,结果可得,14,第一个积分中令,第二个积分中令,则有,被积函数是偶函数,故,误差函数,记做,erfx,则,w,可写为,:,所求的解如下,:,15,余误差函数,记做,erfcx,则有,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,例,6,泊松公式,求解三维无界空间中的波动问题,明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数,N,0,(,虚线,),的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很,刻,2,对应于较晚的时刻,3,对应于更晚,分布情况,曲线,1,对应于某个较早的时,16,解,做傅里叶变换,问题变换为,常微分方程,的初始值问题,这个方程的解为,再进行傅里叶逆变换,17,利用,5.3,例,1,的结果,18,应用延迟定理,出现,对,的积分只要在球面,上进行,以,r,为球心,(,矢径,r),半径为,at,为球面 的面积元,此即,泊松公式,.,19,三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式,然后拿初始扰动,按泊松公式在球面 上积分,波动以速度,a,传播,只有跟点,r,相距,at,的那些点的初始扰动恰好在时刻,t,传到,r,r,d,D,T,0,初始扰动只限于区域,T,0,如图,取一定点,r,与,T,0,跟,T,0,不相交,按泊松公式,u(r,t)=0,表示扰动的前锋,没有到达,r,当,d/atD/a,包围了,T,0,但跟,T,0,不相交,u(r,t)=0,表明,球心,以,at,为半径作球面,求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻,t,在,r,的,u(r,t),应以,r,为,扰动已经过去,.,最小距离为,d,最大距离为,D,当,td/a,跟,T,0,总有重叠,积分一般不为零,在点,(x,y),总有扰动,可以看成某种三维波动的剖面,.,25,例,1,计算,的三重傅里叶变换，,r,是球坐标中的极径,C,为正实数,解,的三重傅里叶变换为,化成极坐标计算，以,k,的方向作为球坐标系的极轴方向,