利用导数解决恒成立问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利用导数,研究“恒成立”的问题,不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常以压轴题形式出现，交汇,函数、方程、不等式和数列,等知识，有效地甄别考生的数学思维能力,.,由于,不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题,，而导数，以其本身所具备的一般性和有效性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用，,【,问题展示,】,【,总结提升,】,【,总结提升,】,解决恒成立问题的基本方法：,1,分离参数法：其优点在于：有时可以避开繁琐的讨论,2,直接研究函数的形态,其缺点在于：有些问讨论比较复杂,当然，在解决问题时，要根据所给问题的特点，选择恰当的方法来解题并在解题过程中，能够依据解题的进程合理地调整解题策略,【,总结提升,】,延伸学习,优化问题,优化问题就是最值问题，导数是求函数最值的有力工具,.,例,1,：,海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图,3.4-1,所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,128dm,2,，上、下两边各空,2dm,，左、右两边各空,1dm,，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图,3.4-1,分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？,面积、容积的最值问题,你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？,因此，,x=16,是函数,S(x),的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为,16dm,，宽为,8dm,时，能使四周空白面积最小。,解法二,：,由解法,(,一,),得,2,、在实际应用题目中，若函数,f,(,x,),在定义域内,只有一个极值点,x,0,，,则不需与端点比较，,f,(,x,0,),即是所求的最大值或最小值,.,说明,1,、设出变量找出函数关系式；,(,所说区间的也适用于开区间或无穷区间,),确定出定义域,；,所得结果符合问题的实际意义。,1.,解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的写出定义域，利用导数求解函数的最值,题后感悟,2.,步骤：,问题,2:,饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗,?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些,?,你想从数学上知道它的道理吗,?,是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大,?,利润最大问题,某制造商制造并出售,球形,瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是,0.8,p,r,2,分，其中,r,是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售,1,ml,的饮料，制造商可获利,0.2,分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为,6cm,，,(,),瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？,(,）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,r,(0,，,2),2,(2,，,6,f,(,r,),0,f,(,r,),-,+,减函数,增函数,-1.07,p,每瓶饮料的利润：,解：由于瓶子的半径为,r,，所以每瓶饮料的利润是,当半径,r,时，,f(r)0,它表示,f(r),单调递增，,即半径越大，利润越高；,当半径,r,时，,f(r)0,它表示,f(r),单调递减,，,即半径越大，利润越低,1.,半径为,cm,时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，,此时利润是负值,半径为,cm,时，利润最大,