第七节微分方程在经济管理分析中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 微分方程在经济管理分析中的应用,例,1,设某商品的需求价格弹性,（,为常数），,解,根据需求价格弹性的定义,分离变量得,两边同时积分得,因此可知该商品的需求函数为,求该商品的需求函数,于是得到微分方程,例,2,已知某厂的纯利润,对广告费,的变化率,与常数,和纯利润,之差成正比,.,当,时，,试求纯利润,与广告费,之间的函数关系,.,（其中,为常数）,两边同时积分得,于是得,由初始条件,，解得,所以纯利润与广告费的函数关系为,解,根据题意，知,分离变量得,例,3,（逻辑斯谛曲线）,在商品的销售预测中，时刻,时的销售量用,表示,.,如果商品的销售的增长速度,正比于销售量,及与销售接近饱和水平的程度,之乘积（,为饱和水平），求销售量函数,解,根据题意，可建立微分方程模型,这里,表示比例因子,.,分离变量得,等式变形为,两端积分得,(,其中,为任意的常数）,（其中,为任意的常数）,（其中,为任意的常数）,于是化简为,从而可得通解为,例,4,（市场动态均衡价格）,某商品的市场价格,随时间,变动，其需求函数为,又设价格,随时间,的变化率与超额需求,成正比，求价格函数,解,根据题意，价格函数,满足微分方程：,供给函数为,利用一阶线性微分方程通解公式，可得,由初始条件,，得到,代入上式得,由解的表达式可得，当,时，,称,为均衡价格，即当,趋向均衡价格,.,时，,价格将逐步,