隐函数求导公式

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六讲 隐函数的求导公式,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,隐函数概念,显函数,隐函数,隐函数的显化,(,二元,),隐函数,研究问题,在什么条件下,方程能够确定隐函数,.,方程确定的隐函数,有什么性质,连续性,?,可导性,?,对方程确定的隐函数,如何求导,.,隐函数组概念,(,显,),函数组,研究问题,在什么条件下,方程组能够确定隐函数组,.,方程组确定的隐函数组,有什么性质,连续性,?,可导性,?,对方程组确定的隐函数组,如何求导,.,隐函数组,隐函数组的显化,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,则方程,F,(,x,y,)=0,在点,x,0,的,某邻域内,可唯一确定一个函数,y,=,f,(,x,),隐函数求导公式,具有连续的偏导数,;,设函数,在点,的某一邻域内满足,:,定理,1,y,=,f,(,x,),具有如下性质,:,在,x,0,的上述邻域内连续,在,x,0,的上述邻域内连续可导,且有,推导,F,x,y,x,复合关系图,注,F,x,和,F,y,分别表示,F,对,x,和对,y,求偏导,分子和分母不要颠倒,不要丢掉负号,在,中,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,可导隐函数,并求,例,1,则方程,F,(,x,y,z,)=0,在点,(,x,0,y,0,),的,某邻域内,可唯一确定一个函数,z,=,f,(,x,y,),z,=,f,(,x,y,),具有如下性质,:,隐函数求导公式,具有连续的偏导数,;,设函数,在点,的某一邻域内满足,:,定理,2,在,(,x,0,y,0,),的上述邻域内连续；,在,(,x,0,y,0,),的上述邻域内连续可导,且有,推导,复合关系图,注,F,x,和,F,z,分别表示,F,对,x,和对,z,求偏导,分子和分母不要颠倒,不要丢掉负号,在,中,例,2,F,x,y,z,y,x,设,求,例,3,设,具有连续偏导数,证明由方程,所确定的函数,满足,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,隐函数的求导公式,一、引言,二、一个方程确定的隐函数的情形,三、方程组确定的隐函数组的情形,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,.,由,F,、,G,的偏导数组成的行列式,称为,F,、,G,的,雅可比,( Jacobi ),行列式,.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,的某一邻域内具有连续偏,导数,;,在点,设函数,满足,:,则方程组,的,连续函数,且有偏导数公式,:,的某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,定理,3,两边对,x,求导,若在点,P,的某邻域内系数行列式,J,0,解方程组即得结论,推导,隐函数组,视,u,v,为,x,y,的函数,F,x,y,u,v,x,y,复合关系图,例,4,其中,f,g,具有一阶连续偏导数,设,求,解题思路,确定因变量个数与自变量个数,.,明确变量个数与方程个数,确定因变量个数,方程个数,确定自变量个数,变量个数,方程个数,(1),(2),明确因变量与自变量,.,题目要求,(3),方程两边求偏导,.,2),求,对,x,y,的偏导数,.,1),证明函数组,的某一邻域内,在与点,(,u,v,),对应的点,(,x,y,),唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数,的反函数,例,5,设,求,例,6,设函数,在点,(,u,v,),的某一,邻域内连续且有连续偏导数,又,