无穷小和无穷大

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 无穷小量与无穷大量,无穷小量,1.,定义,1,设,f,(,x,)在某,U,(,x,0,)内有定义.若,则称,f,(,x,)为,当,x,x,0,时的,无穷小量,.,例如：,(2),无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sin,x,是,x,0,时的无穷,小量，但,注,(1),无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3),关于,有界量,.,2.,无穷小量的运算性质,时,有,定理1.,有限个无穷小的和还是无穷小.,证:,考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,定理2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:,设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1,.,常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2,.,有限个无穷小的乘积是无穷小.,其中,为,时的无穷小量.,定理2.3.1.,(无穷小与函数极限的关系),证,:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,、无穷大,定义2,.,若,任给,M,0,一切满足不等式,的,x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将,式改为,则记作,(正数,X,),记作,总存在,概念：,在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的,无穷大量,.(非正常极限).,注意,:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,所以,时,不是无穷大!,例.,证明,证:,任给正数,M,要使,即,只要取,则对满足,的一切,x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,定理,在自变量的同一变化过程中,无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,若,则称,是比,高阶,的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则称,是比,低阶,的无穷小;,则称,是,的,同阶,无穷小;,则称,是关于,的,k,阶,无穷小;,则称,是,的,等价,无穷小,记作,定义,例如,当,时,又如,，,故,时,是关于,x,的二阶无穷小,且,例1.,证明:当,时,证:,命题,证:,即,即,例如,故,命题,设,且,存在,则,证:,例如,无穷小量的等价替换定理,求两个无穷小量比值的极限时,，,分子及分母都可用等价无穷小,量来代替,因此,，,如果用来代替的无穷小量选取得适当,，,则可使计,算简化,定理,3.12,的意义:,2.3.3,常用等价无穷小:,无穷小量的等价替换定理的几何意义,解,当,x,0时,tan 2,x,2,x,sin 5,x,5,x,所以,说明,只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.,例.,求,解:,原式,2.3.4 等价无穷小代换在极限运算中的应用,