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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.1 预备知识:向量的内积,一、向量内积的定义及性质,在解析几何中有两向量的,数量积,的概念,即设,x,y,为两向量,则它们的数量积为:,x,y,=|,x,|,y,|cos,.,设向量,x,y,的坐标表示式为,x,=,(,x,1,x,2,x,3,),y,=,(,y,1,y,2,y,3,),则,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,3,y,3,.,由此引出了向量的,长度,(即,模,)和两向量,夹角,的概念:,定义,1:,设有,n,维向量,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,称,x,y,为向量,x,与,y,的,内积,.,说明,1.,n,(,n,4)维向量的内积是3维向量,数量积,的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.,说明,2.,内积是向量的一种运算,如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为:,x,y,=,x,T,y,.,我们把两向量的,数量积,的概念向,n,维向量推广:,记,内积的运算性质,设,x,y,z,为,n,维向量,为实数,则,(1),x,y,=,y,x,;,(2),x,y,=,x,y,;,(3),x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,;,(4),x,x,0,当且仅当,x,=0时有,x,x,=0.,二、向量的长度及性质,称|,x,|为,n,维向量,x,的,长度,(或,范数,).,定义:,令,向量的长度具有下述性质:,(1)非负性:,|,x,|,0,当且仅当,x,=0时有,|,x,|,=,0;,(2)齐次性:,|,x,|,=,|,|,|,x,|;,(3)三角不等式:|,x,+,y,|,|,x,|,+,|,y,|.,单位向量及,n,维向量间的夹角,(1)当|,x,|=1时,称,x,为,单位向量,.,(2)当|,x,|,0,|,y,|,0,时,称为,n,维向量,x,与,y,的,夹角,规定0,.,例1:,求向量,x,=(1,2,2,3),与,y,=(3,1,5,1),的夹角.,解:,x,y,=1,3,+2,1,+2,5,+3,1=18,所以,故,向量,x,与,y,的夹角为:,三、正交向量组的概念及求法,1.正交的概念,2.正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为,正交向量组,.,当,x,y,=0时,称向量,x,与,y,正交,.,由定义知,若,x,=0,则,x,与任何向量都正交.,3.正交向量组的性质,定理1:,若向量组,1,2,r,是,n,维,正交向量组,则,1,2,r,线性无关.,证明,:,设有数,1,2,r,使得:,1,1,+,2,2,+,+,r,r,=0,向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.,由于,1,2,r,是,两两正交的非零向量组,当,i,j,时,i,j,=,i,T,j,=,0,当,i,=,j,时,i,i,=,i,T,i,0,则有,用,i,T,(,i,=1,2,r,)左乘上式得,1,i,T,1,+,+,i,i,T,i,+,+,r,i,T,r,=,i,T,0,=,0,i,i,T,i,=,0.,即,从而得,1,=,2,=,r,=0,所以,1,2,r,线性无关.,4.向量空间的正交基,定义,:,若正交向量组,1,2,r,是向量空间,V,的一组基,则称,1,2,r,是向量空间,V,的一组,正交基,.,例2:,已知三维向量空间中两个向量,正交.试求,3,使,1,2,3,构成三维空间的一组正交基.,1,=(1,1,1),T,2,=(1,2,1),T,即,解之得,解:,设,3,=(,x,1,x,2,x,3,),T,0,且分别与,1,2,正交.,则有,1,3,=,2,3,=0,x,1,=,x,3,x,2,=,0.,若令,x,3,=,1,则有,构成三维空间的一组正交基.,则,5.规范正交基,例如,定义,:,设,n,维向量组,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,R,n,的一组正交基,且都是单位向量,则称,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,的一组,规范(单位)正交基,.,由于,所以,e,1,e,2,e,3,e,4,为,R,4,的一组规范正交基.,同理可知,也为,R,4,的一组规范正交基(即,单位坐标向量组,).,设,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,的一组,规范,正交基,则,V,中的任一向量,a,可由,e,1,e,2,e,r,线性表示,设表示式为:,a,=,1,e,1,+,2,e,2,+,+,r,e,r,用,e,i,T,左乘上式,有,e,i,T,a,=,i,e,i,T,e,i,=,i,即,i,=,e,i,T,a,=,a,e,i,这就是向量在规范正交基中的,坐标,(即,线性表示系数,)的计算公式.利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的,坐标,因此我们常取向量空间的,规范正交基.,6.求规范正交基的方法,已知,1,2,r,是向量空间,V,的一组基,求,V,的一组规范正交基,就是要找一组两两正交的单位向量,e,1,e,2,e,r,使,e,1,e,2,e,r,与,1,2,r,等价,这样一个问题称为,把基,1,2,r,规范正交化,.,(1),正交化,设,a,1,a,2,a,r,是向量空间,V,的一组基.,取,b,1,=,a,1,则,b,1,b,2,b,r,两两正交,且,b,1,b,2,b,r,与,a,1,a,2,a,r,等价.,(2),单位化,取,则,e,1,e,2,e,n,是向量空间,V,的一组,规范正交基,.,上述由线性无关向量组,a,1,a,2,a,r,构造出正交向量组,b,1,b,2,b,r,的过程称为,施密特(Schimidt)正交化过程,.,例3:,用施密特正交化方法,将向量组,a,1,=(1,1,1,1),a,2,=(1,-1,0,4),a,3,=(3,5,1,-1),正交规范化.,解:,先,正交化,.,取,b,1,=,a,1,=(1,1,1,1),再,单位化,.,得规范正交向量组如下:,例4:,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,解:,先,正交化,.,取,b,1,=,a,1,再,单位化,.,得规范正交向量组如下:,故,e,1,e,2,e,3,即为所求.,例5:,已知,求一组非零向量,a,2,a,3,使,a,1,a,2,a,3,两两正交.,解:,非零向量,a,2,a,3,应满足方程,a,1,T,x,=,0,即,x,1,+,x,2,+,x,3,=0.,它的基础解系为:,把基础解系正交化,即为所求.亦即取,其中,1,2,=1,1,1,=2,于是得,几 何 解 释,b,2,=,a,2,c,2,c,2,为,a,2,在,b,1,上的投影向量,即,b,1,=,a,1,b,3,=,a,3,c,3,c,3,为,a,3,在,b,1,b,2,所确定的平面上的投影向量,由于,b,1,b,2,故,c,3,等于,a,3,分别在,b,1,b,2,上的投影向量,c,31,及,c,32,之和,即,四、正交矩阵与正交变换,定理,:,A,为正交矩阵的充要条件是,A,的列向量都是单位向量且两两正交.,若,n,阶方阵,A,满足,A,T,A,=,E,即,A,-1,=,A,T,则称,A,为,正交矩阵,.,证明:,由于,A,T,A,=,E,性质1,:,正交变换保持向量的长度不变.,定义,:,若,P,为正交阵,则线性变换,y,=,Px,称为正交变换.,证明:,设,线性变换,y,=,Px,为正交变换.,则有,性质2,:,设,A,为正交矩阵,则,A,-1,=,A,T,也为正交矩阵,且|,A,|=1或1.,性质3,:,设,A,B,都是正交矩阵,则,AB,也为正交矩阵.,例6:,判别下列矩阵是否为正交阵.,解(1):,考察矩阵的第一列和第二列.,所以(1)不是正交矩阵.,由于,解(2):,注意到,该矩阵为对称矩阵,则有,所以(2)是正交矩阵.,例6:,验证矩阵,解:,P,的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以,P,是正交矩阵.,是正交矩阵.,五、小结,1.将一组基规范正交化的方法:,先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将其单位化.,2.,A,为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:,(1),A,-1,=,A,T,;,(2),A,T,A,=,E,;,(3),A,的,列,向量是两两正交的单位向量;,(4),A,的,行,向量是两两正交的单位向量.,思考题,求一单位向量,使它与下列向量正交.,a,1,=(1,1,1,1),a,2,=(1,1,1,1),a,3,=(2,1,1,3),思考题解答,设所求向量为,x,=(,a,b,c,d,),解得:,或,则由题意可得:,
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