直线的投影、两直线的相对位置平行、相交、交叉

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章点、直线、平面的投影,直线的投影,直角三角形法求线段实长及倾角,直线上的点,两直线的相对位置关系,10/7/2024,1,直线的投影,两点决定一条直线。,分别将两点的同名（同面）投影用直线连接，就得到直线的投影。,Z,X,O,Y,H,Y,W,a,a,a”,b,b,b”,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,a,b,c(d),直线对投影面的倾角：,对水平投影面的倾角,对正立投影面的倾角,对侧立投影面的倾角,10/7/2024,2,直线在三投影面体系中分为：,各种位置直线的投影特性,投影面平行线,一般位置直线,特殊位置直线,水平线,正平线,侧平线,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,平行于某一投影面，且倾斜于另两个投影面,垂直于某一投影面,与三个投影面都倾斜,10/7/2024,3,投影面平行线,正平线（平行于面且）,侧平线（平行于面且）,水平线（平行于面,且,）,各种位置直线的投影特性,10/7/2024,4,正平线,平行于V面，倾斜于H、W面的直线。,a,a,b,a,b,b,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,A,B,正平线,的投影特性：,1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（,a,b,=,AB，,反映,、,角的真实大小）；,2、在H面、W面上的,投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且小于实长。 （,ab,OX,;,a,b,OZ）,实长,10/7/2024,5,水平线,侧平线,投影面平行线,投影面,平行线,的投影特性：,1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的倾角；,2、在其它两投影面上的,投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。,X,a,b,a,b,b,a,O,z,Y,H,Y,W,X,Z,a,b,b,b,a,O,Y,H,Y,W,10/7/2024,6,投影面垂直线,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,各种位置直线的投影特性,10/7/2024,7,b,a(b),a,a,b,Z,b,X,a,b,a(b),O,Y,H,Y,W,a,铅垂线, 垂直于水平投影面的直线,A,B,铅垂线,的投影特性：,1、水平投影积聚为一点（,ab,积聚成一点）,；,2、在其它两个投影面上的,投影反映实长，且分别垂直于OX轴、OY轴。（,a,b,=,a,b,=,AB；a,b,OX,；,a,b,OY,W,）,10/7/2024,8,正垂线,侧垂线,投影面垂直线,垂直线,的投影特性：,1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；,2、在其它两个投影面上的,投影，反映实长，且垂直于相应的投影轴。,10/7/2024,9,投影特性：,三个投影都是缩短了的倾斜线段, 都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。,与三个投影面都倾斜的直线。,一般位置直线（投影面倾斜线）,思考：,从属于,投影面及投影轴,的直线的投影特性是什么？其投影如何作图？,各种位置直线的投影特性,a,b,b,a,b,a,O,X,Y,H,Y,W,Z,10/7/2024,10,例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。,a,b,b,a,c,d,c,d,侧平线,侧垂线,铅垂线,水平线,解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。,O,X,O,X,Z,c,c,d,d,a,b,a,b,O,X,O,X,Z,Y,H,Y,W,Y,H,Y,W,10/7/2024,11,例2：已知AB为水平线，补画,ab,。,b,a,a,b,解题思路：,熟悉水平线的投影特性，明确正面投影平行于投影轴。,O,X,10/7/2024,12,例3:,过点,A,向,右上方作一正平线,AB,使,其实长为,25,，与,H,面的倾角,=30,。,25,b,30,b,”,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a”,b,解题思路,：熟悉,正平线的投影特性，并从反映实长和,的投影入手。,作图要点,:做,正平线的正面投影；,过点,a,做正平线的水平投影和侧面投影。,10/7/2024,13,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,直角三角形法求,线段,实长,及线段与投影面的,倾角,求直线AB的实长及其对水平投影面的倾角,角。,10/7/2024,14,求直线的实长及对正面投影面的倾角,角,|,y,A,-y,B,|,a,b,AB,|,y,A,-y,B,|,AB,|,y,A,-y,B,|,a,X,a,b,b,O,10/7/2024,15,求直线的实长及对侧面投影面的倾角,角,A,B,b,b,a,b,a,a,|,x,A,-x,B,|,|,x,A,-x,B,|,10/7/2024,16,即：直角三角形的组成,:,斜边实长,直角边1投影,直角边2坐标差,投影与实长的夹角倾角。,直角三角形法求,线段,实长,及线段与投影面的,倾角,10/7/2024,17,例5：,已知直线的一个投影ab及实长，求直线的投影ab。,X,O,a,b,a,B,0,解题思路及步骤,1.根据直角三角形的组成，利用ab及实长作直角三角形；,2 .求出Y坐标差；,3. 利用Y坐标差求ab投影。,b,AB,实长,思考：若将已知条件实长换成,=30，则如何解题？,10/7/2024,18,直线上的点,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,从属性：,若点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。反之，亦然。,定比性：,若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。 即,AC/CB=,ac/cb,=,a,c,/ c,b,= a,c,: c,b,，,利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,直线上点的投影特性,10/7/2024,19,例6：判断点C是否在线段AB上。,点C不,在直线AB上,点C在直线AB上,a,b,c,a,b,c,c,a,b,c,a,b,O,X,O,X,10/7/2024,20,例7：判断点K是否在线段AB上。,a,b,k,因k,不在a,b,上，,故点K不在AB上。,方法二：应用定比定理,a,b,k,a,b,k,方法一：作出第三投影,因 ak/kb不等于ak/kb，故点K不在AB上。,O,X,Y,H,Y,W,Z,10/7/2024,21,c,c,例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段， 求分点C的投影c、c,。,O,10/7/2024,22,直线上的特殊点,迹点,迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、水平迹点、侧面迹点）。,作图要点,：,1、迹点既是投影面上的点又是直线上的点，故必同时符合投影面上点和直线上的点的投影规律;,2、求迹点时，先延长投影到投影轴。,m,m,n,n,M是水平迹点,N是正面迹点。,a,b,a,b,O,X,10/7/2024,23,空间两直线的相对位置关系分为四种：,平行、相交、交叉、垂直。, 两直线平行,投影特性,（判别方法）,：,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,两直线的相对位置,1若空间两直线相互平行，则其各同面投影必相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。,2平行两线段之比等于其投影之比。,10/7/2024,24,例9：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,a,b,c,d,c,a,b,d,O,X,10/7/2024,25,H,V,A,B,C,D,K,a,b,c,d,k,a,b,c,k,d, 两直线相交,若空间两直线相交，,则其各同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律,；,反之，亦然。,两直线的相对位置,交点是两直线的,共有点,投影特性,（,判别方法）,：,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,O,X,10/7/2024,26,3.两直线交叉：,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,两直线的相对位置,1,(,2,),3(4 ),投影特性,（,判别方法）,：, 同面投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。也可能有两对同面投影平行，但第三对决不会平行。,“交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,d,b,a,a,b,c,d,c,1,2,3,4,O,X,10/7/2024,27,例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。,a,a,c,d,c,d,b,b,c,1,b,1,X,O,10/7/2024,28,例11 判断两直线的相对位置。,d,a,c,b,o,Y,W,Y,H,z,解法一,：,10/7/2024,29,1,1,d,c,1,1,例11 判断两直线的相对位置,解法二：,10/7/2024,30,例12 判断图中两条直线的空间位置。,对于特殊位置直线，只有两个特殊投影互相平行，空间直线不一定平行，必须在直线所平行的投影面内进行判断。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,还可以如何判断？,X,Z,O,Y,H,Y,W,10/7/2024,31,例13 判断两直线重影点的可见性。,3,(4,),3,4,1,2,1(2),O,10/7/2024,32,例14： 求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、CD都相交。,a,b,a,b,c,d ,d,c,15,l,l,X,O,10/7/2024,33,本讲小结重点掌握,10/7/2024,34,例4：已知直线的投影，求直线的 实长及,角。,X,O,a,b,a,b,B,0,实长,作图要点,：,1.作出直角三角形：,直角边1=ab,直角边2=第三坐标差z，,倾角=实长与ab夹角。,10/7/2024,35,例8 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。,c,L,AB,z,B,-z,A,c,ab,10/7/2024,36,例10 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。,c,c,ca,bc,10/7/2024,37,