D16极限存在准则两个重要极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学,A,电子教案,二、 两个重要极限,一、数列极限（函数极限）的夹逼准则、,单调有界收敛准则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,第一章,一、数列极限存在的夹逼准则,准则I ：若数列,x,n, ,y,n, 和 ,z,n, 满足下列条件:,则数列,x,n,的极限存在且,证：,故,相应的函数极限存在的夹逼准则,准则I,且,利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存在的夹逼准则证明.,圆扇形,AOB,的面积,二、 第一个重要极限,证: 当,即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,B,单位圆,例1.,解:,例2.,解:,则,因此,原式,例3.,解: 原式 =,例4. 已知圆内接正,n,边形面积为,证明:,证:,注: 计算中注意利用,三、单调有界数列的收敛准则,准则II ：单调有界数列必有极限。,相应的单调有界函数的收敛准则,准则II ：设函数,f,(,x,)在,x,0,的某个左邻域内单调并且有界，则函数,f,(,x,)在,x,0,的左极限,f,(,x,0,-,) 必存在。,若数列,x,n,满足,则称数列,x,n,单调增加；,若数列,x,n,满足,则称数列,x,n,单调减少；单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。,四、 第二个重要极限,证明思路:,1. 首先证明数列,x,n,是单调有界数列从而极限存在，,其中,2. 其次利用夹逼准则证明,3. 再用变量代换法证明,4. 联合上面两个结论可得,先证：,第一步，证明数列,x,n,是单调增加的。,易见 ,第二步, 证明数列,x,n,有界.,从而,其中我们用了不等式,(数学归纳法),于是, 由单调增加和有界性知数列,x,n, 极限存在, 记,下证:,函数极限,一方面, 当,x, 0,时, 设,则,则,从而有,故,时,另一方面, 当,令,例5.,解:,则,另证:,则,原式,利用,小结,1. 数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,2. 单调有界数列必有极限,在点,x,0,的某左(右)邻域内单调且有界的函数有左(右)极限,3. 两个重要极限,或,( 形如1,的情形要注意用此极限并 “凑” ),课堂练习,求极限:,