线面积分习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题课,1. 曲线积分的计算法,2. 曲面积分的计算法,线面积分的计算,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,(1)计算,其中,L,为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,其中,L,为摆线,上对应,t,从 0 到 2, 的一段弧.,提示:,(2),其中,由平面,y= z,截球面,提示: 因在,上有,故,原式 =,从,z,轴正向看沿逆时针方向.,(3),(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,例1 已知,L,的长度为,a,，求,解： 即,3x,2,+4y,2,=12,，所以,又,L,关于,x,轴对称，而,sin(xy),关于,y,为奇函数，所以,于是,I = 12a,。,又如,逆时针方向，则,例2. 计算,其中,为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(,的,重心在原点),例3. 计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a,为半径的上半圆周.,解法2,它与,L,所围区域为,D,(利用格林公式),思考:,(2) 若,L,同例3 , 如何计算下述积分:,(1) 若,L,改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),解：,L,：即 。 所以,例4 计算,顺时针方向,L,：,注：,应充分利用,L,的方程简化被积函数。,例5 设,L,是分段光滑的简单闭曲线，取正向，点（2，0）和（2，0）不在,L,上。计算,解：,(,x，y,)(2，0)或(2，0),（2）当点(2，0)和(2，0)一个在D内一个在,D,外时,不妨设(2，0)在D内而(2，0)在D外。,（1）当点(2，0)和(2，0)均在,L,所围区域D外时,-2,2,O,x,D,L,以(2，0)为圆心，充分小的正数为半径作圆L,1,，取正向，则有：,L,1,2,2,x,L,（3）当点(2，0)和(2，0)均在D内时,2,2,x,L,1,L,O,L,2,例10 设,Q(x，y),具有连续的一阶偏导数，曲线积分,与路径无关，且对任意的实数,t,，恒有,，求,Q(x，y),。,解：由积分与路径无关知,故,其中 为待定函数。,取折线作为积分路径,先积x,(t，1),(t，0),(0，0),左端,由题设有,两端对t求导,所以,右端,先积x,(1，t),(1，0),(0，0),计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,(4).,设在右半平面,x ,0 内, 力,构成力场,其中,k,为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,F 沿右半平面内任意有向路径,L,所作的功为,(5),(6)求力,沿有向闭曲线, 所作的,功,其中,为平面,x + y + z = 1,被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从,z,轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,7解,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),转化,二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答:,第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 !,对坐标的积分与, 的,侧有关,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,练习:,其中,为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示:,以半球底面,原式 =,记半球域为, ,高斯公式有,(1)计算,为辅助面,利用,例1.,证明:,设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,的,例2.,计算曲面积分,其中,解:,思考:,本题,改为椭球面,时,应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,解：,例3.,设,是曲面,解:,取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在, 内,为,xoy,平面上夹于,之间的部分,且取下侧 ,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式,计算, 得,例6.,计算曲面积分,中,是球面,解:,利用对称性,用重心公式,例7.,设,L,是平面,与柱面,的交线,从,z,轴正向看去,L,为逆时针方向, 计算,解:,记,为平面,上,L,所围部分的上侧,D,为,在,xoy,面上的投影.,由,斯托克斯公式,D,的形心,证明：,取,z,轴正向铅直向下，,xOy,平面位于液面上。液体中点(,x，y，z,)处的压强,p=z,。,物体的表面记为,取外侧，在,上任取一有向曲面元,dS=ndS,dydz，dzdx，dxdy,，,n,为,上点(,x，y，z,)处的向外的单位法向量,例8,利用高斯公式证明阿基米德定理。,x,y,z,O,即浸没在液体中的物体所受液体的,压力,的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小,等于这物体所排开的液体的重力。,这有向曲面元受到的液体的压力,F,zndS,=,zdS,=,-zdydz,dzd,x,dxdy,=,dF,=,dFx，dFy，dFz,F,= 0，0，,V,(1)在任一固定时刻 ,此卫星能监视的地球表面积是,备用题,地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其视线所及地球表面的每一处的景象并摄,像,若地球半径为,R,卫星距地球表面高度为,H,=0.25,R,卫星绕地球一周的时间为,T, 试求,(2) 在,解:,如图建立坐标系.,的时间内 ,卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处,播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中,S,0,为盲区面积,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,