2.3 一维分布函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,一维分布函数,第二章,一维分布函数,前一节介绍的,离散型,随机变量，我们可用,分布律,来完整地描述。而对于,非离散型,随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们,取某个值的概率可能是零,。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命,X,的取值充满了区间,0,+),，事件,X=x,0,表示灯泡的寿命正好是,x,0,在实际中，即使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是,x,0,，,也就是说，事件,(,X=x,0,),发生的频率在零附近波动，自然可以认为,P,(,X=x,0,)=0,。,由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量,X,取值落在某区间,(,a,b,上的概率,P,(,a,X,b,),。,由于,a,x,b,=,x,b,-,x,a,(,a,b,),，,因此对任意,x,R,，,只要知道事件,X,x,发生的概率，则,X,落在,(,a,b,的概率就立刻可得。因此我们用,P,(,X,x,),来讨论随机变量,X,的概率分布情况。,P,(,X,x,),：“,随机变量,X,取值不超过,x,的概率”。,特别地，,(1),P,a,X,b,=F(,b),-F(,a,),。,(2),若,X,是取值为,x,k,的,离散随机变量,，则,定义,设,X,是一个随机变量,x,是任意实数,记,F(,x,)=,P,X,x,称,F(,x,),为随机变量,X,的,分布函数,。,在这个意义上可以说，,分布函数完整地描述了随机变量的,统计规律性,，或者说，,分布函数完整地表示了随机变量的,概率分布,情况,。,由于,a,X,b,=,X,b,-,X,a,且,X,a,X,b,因此，,P,a,1000),，,所以,不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。,同样，,必然事件的概率为,1,，但概率为,1,的事件不一定是必然事件。,练习,设随机变量,X,的分布律为,求,X,的分布函数,F(,x,),及概率,P0,X,1.5,。,X,0,1,2,p,0.3,0.5,0.2,分析,：,X,是一个离散型随机变量，其取值,为,0,，,1,，,2,，可用,求解,F(,x,).,解,：,(2)P0,X,1.5,=P0,X,1.5+P,X,=0,=F(1.5)-F(0)+P,X,=0,=0.8-0.3+0.3=0.8.,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量,X,的分布函数的图形是,阶梯曲,线,它在,X,的一切有正概率的点,x,k,处都有一个跳,跃，其跃度为,X,取值,x,k,的概率,p,k,而在分布函数,的任何一个,连续点,x,上,X,取值,x,的概率都是,0,离散型随机变量,X,的概率分布与分布函数及事件概率的关系,：,(1),若,P,X,=,x,k,=,p,k,(,k,=1,2,),则,(2),已知分布函数,F(,x,),则,P,X,=,x,k,=,F(,x,k,)-F(,x,k,-,0)(k=1,2,);,P,a,X,b,=,F(,b,)-F(,a,);,P,a,X,b,=,F(,b,)-F(,a,)+P,X,=,a,-P,X,=b,F(,b,)-F(,a,).,例,设,离散型,随机变量,X,的分布函数为,(1),求,X,的概率分布；,(2),求,P,X,2|,X,0.,解,：,(1),由已知，,X,的,可能值为：,0,1,2,3,，,由,P,X,=,x,k,=,F(,x,k,)-F(,x,k,-,0),得,P,X,=0=F(0)-F(0,-,0)=0.1,，,P,X,=1=F(1)-F(1,-,0)=0.4-0.1=0.3,，,P,X,=2=F(2)-F(2,-,0)=0.8-0.4=0.4,，,P,X,=3=F(3)-F(3,-,0)=1-0.8=0.2,。,概率分布表为,X,0,1,2,3,p,0.1,0.3,0.4,0.2,