线性代数应用举例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数应用实例,取自线性代数机算与应用指导（,MATLAB,）版,2010.12,例 1 平板稳态温度的计算,为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许,多方格，每一个,节点上的稳态温度将等于其周围四个,节点温度的平均值,。由此可得出阶数与节点数相同的,线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。,这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。,T,1,T,2,T,3,T,4,平板温度计算的模型,整理为,A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4;,b=30; 50; 60; 80;,U=rref(A,b),MATLAB 程序(ma1),运行结果为：,U =,1.0000 0 0 0 21.2500,0 1.0000 0 0 26.2500,0 0 1.0000 0 28.7500,0 0 0 1.0000 33.7500,向高阶系统扩展,则要解 25 阶的线性方程组。,运行书上的程序得温度分布,如下,将平板分割得愈细，求出的解就愈精确。如果把上,述区域分成 25 个点如右,MATLAB 程序ma2,例 2 交通流的建模,对于一个有双向车流的十,字路口，根据流出流入车,数相等的规则，可以列出,下列方程组:,节点A：x1,360,x2,260,节点B：x2,220,x3,292,节点C：x3,320,x4,357,节点D：x4,260,x1,251,相应的矩阵方程为：,A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1;,b=-100;72;37;-9;,U=rref(A,b),MATLAB 程序(ma3),运行结果为：,U =,1,0 0 -1 9,0,1,0 -1 109,0 0,1,-1 37,0 0 0 0 0,由于 U 的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实,际上只有三个独立。,x,4,可以任设，因为如果有一些车沿,此路口环行，对方程无影响，故方程组的解可如上表示.,把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的 6 节点交通流图，它就要由 6 个方程和 7 个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。,向高阶系统扩展,左图描述了四个城市之间的航空,航线图，其中1、2、3、4 表示四,个城市；带箭头线段表示两个城,市之间的航线。设行号表示起点,城市，列号为到达城市，则,定义邻接矩阵 A 为：,例 3 飞机航线问题,转机航线的数学模型,不难证明：矩阵 A2=A*A 表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市，矩阵 A3=A*A*A 表示连续坐三次航班可以到达的城市：,其中，第,i,行描述从城市,i,出发，可以到达各个城市的,情况，若能到达第,j,个城市，记 A(,i,j,)=1，否则 A(,i,j,)=0，,规定,A(,i,i,)=0 (其中,i=,1,2,3,4)。如第 2 行表示：从城市 2,出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。,多次转机到达的城市,分析矩阵 A3 的第二行，可以得出：,某人从城市 2 出发，连续坐三次航班,可以到达城市 2、3 和城市4，不能到,达城市 1，而到达城市 3 和城市 4 的,方法各有两种。,不难看出，转机两次以下的航线的航路矩阵为,At2= A+ A2 + A3,程序为,（,ma4）,A=0,1,1,1;,0,0,1,1;,0,0,0,0;,1,1,0,0,;,At2=A+A2+A3,例 4 行列式的几何应用,二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个 3 维向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用 MATLAB 软件来实现面积和体积的运算。,实例,（I）,已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积；,（II）,已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。,（III）,在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。,平行四边形面积计算,解,：(I)如图所示，三角形 ABC 的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：,由向量 和 所构成的平行四,边形的面积为行列式 的绝对值。,计算的MATLAB语句为：,S=abs(a1*b2-a2*b1),实例,给出的是三角形三个顶点坐标a,1,b,1,， a,2,b,2,，,a,3,b,3,，求该三角形面积，则有：,MATLAB写成S=abs(det(a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1),多边形可以划分为多个三角形来计算。,先对三角形面积计算构成一个函数程序；,这个子程序名为：cal_area3(A,B,C),A,B,C为三个顶点的二维坐标向量,凸多边形面积只需多次调用这个函数程序；,例如五边形ABCDE，可由,S5= cal_area3(A,B,C)+ cal_area3(A,C,D)+ cal_area3(A,D,E),求得。（MATLAB程序ma4）,也可由多边形面积子程序cal_arean(A)计算。,扩展至多边形面积计算,解：(II)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。,在MATLAB命令窗口运行程序ma5.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：,MATLAB 程序,function s=cal_area3(a,b,c),% a,b,c 应为同形的 2 维行向量或列向量，,% 格式检验语句略去,ab=b-a;,% 计算向量AB,ac=c-a;,% 计算向量AC,if size(ab)=1,2,% 判读向量AB是否为行向量,A=ab;ac;,% 构造矩阵A,else,A=ab,ac;,end,s=abs(det(A)/2;,% 根据公式计算三角形面积,成药,1号成药,2号成药,3号成药,4号成药,5号成药,6号成药,7号成药,A,10,2,14,12,20,38,100,B,12,0,12,25,35,60,55,C,5,3,11,0,5,14,0,D,7,9,25,5,15,47,35,E,0,1,2,25,5,33,6,F,25,5,35,5,35,55,50,G,9,4,17,25,2,39,25,H,6,5,16,10,10,35,10,I,8,2,12,0,0,6,20,例 5 药方配置问题,（1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3号和第 6 号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品。,分析：即 3, 6 向量与其他向量是否线性相关,（2）现在该医院想用这 7 种中草药配制三种新的特效药，下表为新药所需的成分质量 (单位: 克) 。请问如何配制。,分析：这是新药向量与原来药向量是否线性相关的问,题。,问题及分析思路,1号新药,2号新药,3号新药,A,40,162,88,B,62,141,67,C,14,27,8,D,44,102,51,E,53,60,7,F,50,155,80,G,71,118,38,H,41,68,21,I,14,52,30,新药的成分要求,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;,u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;,u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;,u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;,u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;,u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;,u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;,U1=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,V1,r=rref(U1),问题 (1) 的 MATLAB 程序（ma6),运行结果,V1 =,1,0 1 0 0 0 0,0,1,2 0 0 3 0,0 0 0,1,0 1 0,0 0 0 0,1,1 0,0 0 0 0 0 0,1,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0,r = 1 2 4 5 7,可见这七种特效药是“相关的”, 3、6 两种药可用其它 5种药线性配制出来, 但第1 、2 、 4、5 、7 种药“无关”。,因此，8，9 两种药可以配出，第 10 种药则不能配出。,V2 =,1,0 1 0 0 0 0 1 3 0,0,1,2 0 0 3 0 3 4 0,0 0 0,1,0 1 0 2 2 0,0 0 0 0,1,1 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0,1,0 1 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0,1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,s = 1 2 4 5 7 10,为求第二个问题, 把 3 种新药与 7 种原药组成矩阵 U2，,求 rref，得：,s1=40 62 14 44 53 50 71 41 14,s2=162 141 27 102 60 155 118 68 52,s3=88 67 8 51 7 80 38 21 30,U2=U1,s1,s2,s3,V2 r=rref(U2),问题 (2) 的 MATLAB 程序,假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布,情况变化如下：每年都有 5 的市区居民搬到郊区；,而有 15 的郊区居民搬到市区。若开始有 700000 人,口居住在市区，300000 人口居住在郊区。请分析：,（1）10 年后市区和郊区的人口各是多少？,（2）30 年后、50 年后市区和郊区的人口各是多少？,（3）分析（2）中数据相似的原因。,例 6 人口迁徙问题,解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量,其中,x,n,为市区人口所占比例，,y,n,为郊区人口所占比例。,在,n,+1年的人口分布状态为：,用矩阵乘法可写成：,A=0.95,0.15;0.05,0.85;,X0=700000;300000;,X10=A10*X0,开始市区和郊区的人口数为,可以得到,n,年后市区和郊区的人口分布：,因此 (1) 10 年后的人口可用程序计算如下：,运行结果为：,故市区和郊区人口数约为：744630和255370。,无限增加时间,n,，市区和郊区人口之比将趋向常数,0.75/0.25。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，需要求,A,k, 为此可先将,A,对角化, 再求其,k,次幂。,对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次,余下很容易计算。,令,其中,为对角矩阵，则有,% 分析,n,年后城市人口分布(ma7),clear,A=0.95,0.15;,0.05,0.85,;,X0=700000;,300000,;,P,lambda=eig(A);,syms,n,%,定义符号变量,n,X,n,=P*lamda.,n,*inv(P)*X0,MATLAB 程序,显然, 随,n,增大 (4/5),n,趋近于零, 而 X,n,趋于,运行结果为：,750000,250000,x,0,1,2,3,4,y,-27,0,21,0,-75,例 7 多项式插值与拟合,求: (1) 过这五个点作一个四次多项式函数,(2) 请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数,下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。,并求,x,=5 时的函数值,p,4,(5)。用 MATLAB 绘制多项式函,数,p,4,(,x,) 的曲线、已知点及插值点 (5,p,4,(5)。,并用 MATLAB 绘制,p,2,(,x,) 的曲线及已知的五个点。,其中矩阵：,解：(1) 根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入,四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：,系数矩阵 A 的行列式为范德蒙 (Vandermonde) 行列式，,且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，,所以方程组有唯一解。,MATLAB 程序:,(ma8),x,=0;1;2;3;4;,% 输入已知点坐标,y,=-27;0;21;0;-75;,A=,x,.0,x,.1,x,.2,x,.3,x,.4;,% 构造 vandermonde 矩阵,a,=Ay;,% 得到适定方程组的唯一解,a,运行程序，得到,a,(1)=-27,a,(2)=12,a,(3)=26,a,(4)=-12,a,(5)= 1.,把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得,到如下线性方程组：,其中，,(2) 多项式拟合要解一个超定方程,该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析,可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲,线刚好能过已知的五个点。MATLAB 软件提供了一个,利用最小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的,公式也是,a,= A,y,，以找到一条二次曲线来近似地描述,已知 5 个点的变化情况。,对比插值和拟合的曲线如下图,用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩,阵,X,来表示它。,X,的一列表示刚体一个顶点的坐标。为,了使图形闭合，,X,的最后一列和第一列相同；为了实现,刚体的平移运算，给矩阵,X,添加元素值都为 1 的一行，,使,X,为 3,n,矩阵。,若有矩阵：,则可以证明，矩阵 Y,1,是刚体,X,沿,x,轴正方向平移,c,1,，,沿,y,轴正方向平移,c,2,后的结果；矩阵 Y,2,是刚体,X,以坐,标原点为中心逆时针转动,t,弧度的结果。,例 8 刚体的平面运动,x,0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0,y,0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0,实 例,用下列数据表示字母,A:,对 A 进行以下平面运动, 并绘制移动前后的图形。,(1) 向上移动 15, 向左移动 30;,(2) 逆时针转动,/3;,(3) 先逆时针转动3,/4, 然后向上平移 30, 向右平移 20。,解,构造刚体矩阵,X,，平移矩阵及转动矩阵。,M1=,1,0,0,0,1,0,-30,20,1,M2=,1,0,0,0,1,0,20,30,1,R1=,0,0,1,0,0,R2=,0,0,1,0,0,MATLAB 程序（ma9),X,=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;,0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0;,ones(1,12),;,% 构造刚体矩阵 X,M1=1,0,-30;,0,1,15;,0,0,1,;,% 构造平移矩阵 M1,Y1=M1*,X,;,% 计算平移结果,fill(Y1(1, :), Y1(2, :), red);,% 绘制平移后刚体 Y1,plot(,X,(1, :),X,(2, :);,% 绘制原来刚体 X,hold on,axis equal,R1=cos(pi/3), -sin(pi/3), 0;,sin(pi/3), cos(pi/3), 0,;,0,0,1,;,% 构造转动矩阵 R1,Y2=R1*,X,;,% 计算旋转结果,fill(Y2(1, :), Y2(2, :), blue);,% 绘制转动后刚体 Y2,fill(Y3(1, :), Y3(2, :), black);,% 绘制转动及平移后刚体,grid on,hold off,M2=1,0,20; 0,1,30; 0,0,1;,%,构造转动矩阵 M2,R2=cos(3*pi/4), -sin(3*pi/4), 0;,%,构造转动矩阵,R2,sin(3*pi/4), cos(3*pi/4), 0,;,0,0,1,;,Y3=M2*R2*,X,;,% 旋转平移后的结果,Y3,运行的结果如下,线性变换的,几何含义,实例1,已知向量 。请分析经过线性变换,后，向量 与向量 的几何关系。其中 分别为：,在MATLAB命令窗口运行程序ma10.m，可以得到图形：,线性变换的,几何含义,实例2,已知矩阵,MATLAB分析特征向量的几何含义。,，求它们的特征值和特征向量，并用,解：用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为：,用MATLAB演示矩阵A的特征向量几何含义的命令为：,（1）r=eig(A),列向量r为矩阵A的特征值,（2）V,D=eig(A)，对角矩阵D的对角线元素为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量为矩阵A的特征向量。,eigshow(A),在MATLAB命令窗口运行程序ma11.m，可以分别得到图形：,二次型的,几何含义,1、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。,例1 用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所对应的二次曲线 及 。,解：用MATLAB命令eig可以算出二次型矩阵的特征值分别为：4.3820，6.6180 和3.7016，-2.7016 。,在MATLAB命令窗口运行程序ma12.m，可以得到图形：,二次型的,几何含义,2、二次型正定、负定的几何含义。,例2 分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲面 。,在MATLAB命令窗口运行程序ma13.m，可以得到图形：,谢谢！,