《角的基本概念》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角函数的概念,一、角的基本概念,1.角的概念,角可以看成平面内的一条,射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的,图形.,旋转,开始的射线,叫角的,始边,旋转,终止位置的射线,叫角的,终边,射线的端点,叫角的,顶点,.,按,逆时针方向旋转,形成的角叫,正角,按,顺时针方向旋转,形成的角叫,负角,如果一条射线,没作任何,旋转,称它形成了一个,零角,.,角的三要素:,顶点、始边、终边,.,2.角的分类,(,1,),正角、负角、零角；,(,2,),象限角、象限界角,(,象间角、轴线角,),(1),与,角,终边相同的角的集合:,3.几类特殊角的表示方法,|,=,k,360,+,k,Z,或,|,=2,k,+,k,Z,.,(2)象限角、象限界角,(轴线角),象限角,第一象限角:,k,360,k,360+90,k,Z;,(2,k,2,k,+,k,Z),2,第二象限角:,k,360+90,k,360+180,k,Z;,(2,k,+,2,k,+,k,Z),2,第三象限角:,k,360+180,k,360+270,k,Z;,(2,k,+,2,k,+,k,Z),2,3,第四象限角:,k,360+270,k,360+360,k,Z.,2,(2,k,+,2,k,+2,k,Z,或 2,k,-,2,k,k,Z,),2,3,或,k,360,-,90,k,360,k,Z.,轴线角,x,轴的非负半轴:,=,k,360(2,k,)(,k,Z);,x,轴的非正半轴:,=,k,360+180(2,k,+,)(,k,Z);,y,轴的非负半轴:,=,k,360+90(2,k,+,)(,k,Z);,2,y,轴的非正半轴:,=,k,360+270(2,k,+,),或,=,k,360,-,90(2,k,-,)(,k,Z);,2,3,2,x,轴:,=,k,180(,k,)(,k,Z);,y,轴:,=,k,180+90(,k,+,)(,k,Z);,2,坐标轴:,=,k,90()(,k,Z).,2,k,(1)角度制,(2)弧度制,等于半径的圆弧所对的圆心角叫做,1,弧度,(,1,rad,),的角,.,(3)弧度与角度的相互换算,4.角的度量,(4)扇形的弧长公式,扇形的面积公式,1,=rad,0.01745 rad.,180,1,rad=,(),57.30,=,57,18,.,180,l,=,r,|,|,S,=,l,r,=,r,2,|,|,1,2,1,2,一个圆周的 的弧所对的圆心角叫做,1,度,(,1,),的角,.,360,1,二、任意角的三角函数,1.定义,.,P(,x,y,),y,x,o,r,sin,=;cos,=;tan,=;,y,r,x,r,y,x,cot,=;sec,=;csc,=;,x,y,r,x,r,y,x,y,o,P,M,A,x,y,o,P,M,A,2.三角函数的符号,3.三角函数线,y,x,o,sin,csc,tan,cot,cos,sec,+,三角函数正值歌,正弦一、二全是正,余弦偏在一、四中,;,正切、余切却不然,斜插一、三两象限,.,定义,与单位圆有关的有向线段,MP、OM、AT,分别叫做角,的,正弦线、余弦线、正切线,.,或 一全二正弦,三切四余弦.,T,T,即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略),第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,区域,2,第一或第三象限,第二或第四象限,注:,已知角,所在象限,应熟练地确定 所在的象限如下表:,2,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,1,2,1,2,2,2,2,2,3,2,3,2,4,2,4,2,如果用,1,2,3,4,分别表示第一、二、三、四象限角,则 ,分布如图:,1,2,2,2,3,2,4,2,熟记右图,解有关问题就方便多了.,1.写出与,-,1035,终边相同的角,并指出其中属于,-,4,4,的角.,2.判断,=,-,5,=,-,是第几象限的角.,1993,3,解:,-,1035,=,-,3,360,+45,与,-,1035,终边相同的角为,k,360,+45(,k,Z).,用弧度制表示上面,的角为,2,k,+,(,k,Z),4,令,-,4,2,k,+,4,(,k,Z,),得,k,=,-,2,-,1,0,1,4,其中属于,-,4,4,的角是,-,-,.,7,4,4,15,9,4,4,解:,02,-,5,2,-,5,是第一象限的角.,212,-,1.68,(,),2,1993,3,1993,3,-,是,第二象限的角.,典型例题,3.角,终边经过点,P(,x,-,2,)(,x,0),且,cos,=,x,求,sin,+cot,的值.,3,6,解:,设,|OP|=,r,则,r,=,x,2,+2,又,cos,=,x,则,3,6,x,2,+2,x,=,x,3,6,当,x,=,-,10,时,解得,x,=,10.,当,x,=,10,时,sin,=,-,6,6,cot,=,-,5,sin,+cot,=,-,;,6,5,+,6,6,sin,+cot,=,.,6,5,-,6,6,sin,=,-,6,6,cot,=,5,4.已知,为锐角,证明:10,y,0),则,sin,=,x,2,+,y,2,y,cos,=.,x,2,+,y,2,x,sin,+cos,=,=,.,x,2,+,y,2,x,+,y,x,2,+,y,2,(,x,+,y,),2,x,0,y,0,x,2,+,y,2,(,x,+,y,),2,=,=1+,1,x,2,+,y,2,x,2,+,y,2,+2,xy,x,2,+,y,2,2,xy,x,2,+,y,2,(,x,+,y,),2,又,=,=2,x,2,+,y,2,x,2,+,y,2,+2,xy,x,2,+,y,2,x,2,+,y,2,+,x,2,+,y,2,x,2,+,y,2,(,x,+,y,),2,1,2,.,1sin,+cos,2,.,1,2,.,x,2,+,y,2,(,x,+,y,),2,5.求下列函数的定义域:(1),y,=tan,x,+cot,x,;(2),y,=,sin,x,+tan,x,.,解:,(1)使,tan,x,有意义的,x,的取值集合是,=,x,|,x,k,Z;,2,k,使,cot,x,有意义的,x,的取值集合是,x,|,x,k,k,Z,x,|,x,k,+,k,Z,2,故所求函数的定义域是:,x,|,x,k,+,k,Z,x,|,x,k,k,Z,2,(2)要使原函数有意义,则,sin,x,0,x,k,+,k,Z.,2,2,k,x,2,k,+,k,Z,x,k,+,k,Z.,2,即,故原函数定义域为,x,|,2,k,x,2,k,+,且,x,2,k,+,k,Z,.,2,6.设,是第二象限的角,试问:,-,-,+,分别是第几象限的角?,解:,是第二象限的角,-,是第三象限角,2,k,+,2,k,+,k,Z.,2,-,2,k,-,-,-,2,k,-,k,Z,2,-,2,k,-,-,2,k,+,k,Z,2,2,k,+,+,2,k,+2,k,Z.,2,3,-,是第一象限角,+,是第四象限角.,解法2,角,-,的终边与角,的终边关于,x,轴对称,由,是第二象限的角知,-,是第三象限,的角;,角,-,的终边与角,的终边关于,y,轴对称,由,是第二象限的角知,-,是第一象限,的角;,角,+,的终边是角,终边的反向延长线,由,是第二象限的角知,+,是第四象限,的角.,7.已知,在第二象限,试确定,sin(cos,),cos(sin,),的符号.,解:,在第二象限,-,1cos,0,0sin,1.,-,-,1,1,2,2,-,cos,0,0sin,.,2,2,sin(cos,),0.,sin(cos,),cos(sin,)0,时,sin,=,=,-,y,r,-,3,t,5|,t,|,-,3,t,5,t,3,5,cos,=,=,=,x,r,4,t,5|,t,|,4,t,5,t,4,5,tan,=,=,-,;,y,x,-,3,t,4,t,3,4,当,t,|sin,x,|;(2)|sin,x,|+|cos,x,|1.,解:,由三角函数线易得所求集合分别为:,(1)x,|,k,-,x,k,+,kZ,;,4,4,(2)x,R,|,x,k,Z,.,2,k,3.设,O,是坐标原点,角,的终边上有点,M,|OM|=2,角,的终边上有点,N,|ON|=4,P,为,MN,的中点,求以,OP,为终边的角,的正切值.,解:,依题意可设,M(2cos,2sin,),N(4cos,4sin,),则,P(cos,+2,cos,sin,+2,sin,).,当,cos,+2,cos,0,时,当,cos,+2,cos,=0,时,tan,不存在.,tan,=,.,sin,+2,sin,cos,+2,cos,4.化简:,-,.,tan,sin,tan,+,sin,tan,sin,tan,-,sin,解:,设,P(,x,y,),是,角,终边上的任意一点,令,r,=,x,2,+,y,2,.,y,x,y,r,则原式=,-,y,x,y,r,-,y,x,y,r,y,x,y,r,+,y,2,yr,-,yx,y,2,yr,+,yx,=,-,y,2,-,(,r,2,-,x,2,),y,(,r,-,x,),=,y,r,-,x,y,r,+,x,=,-,x,2,+,y,2,-,r,2,y,(,r,-,x,),=,=0.,在第二或第四象限.,-,1cos,0,0sin,1.,又-,-,1,1,2,2,-,cos,0,0sin,.,2,2,sin(cos,),0.,sin(cos,),cos(sin,),0.,故,sin(cos,),cos(sin,),的符号为“,-,”号.,5.若,+=0,试判断,sin(cos,),cos(sin,),的符号.,|cos,|,cos,|sin,|,sin,解:,由已知得,|sin,cos,|+sin,cos,cos,|sin,|,=0,sin,cos,0,且,cos,|sin,|0,sin,cos,0.,当,在第二象限时,同理当,在第四象限时,sin(cos,),cos(sin,)的符号为“,+,”号.,