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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,（,1,）邻域,一、多元函数的概念,说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,的,去心邻域,记为,（,2,）区域,例如,，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（,3,）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0),既是,边界点也是聚点,点集,E,的聚点可以属于,E,，,也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（,3,）,n,维空间,n,维空间的记号为,说明：,n,维空间中两点间距离公式,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,设两点为,n,维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,二、多元函数的概念,引例,:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,1,）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,称为该函数的定义域，,称为自变量，,称为因变量,数集,称为函数的值域,在,点的值记为,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,是有界闭区域,例如,的定义域,是无界开区域,的定义域,不是区域,（,2,） 二元函数 的图形,二元函数的图形,通常是一张曲面,.,图形如右图,.,例如,例如,左图球面,.,单值分支,:,定义,1,设函数,的定义域为,是,的内点或边界点，如果,以任何方式无限,趋近于,时，,函数的对应值总是无限趋近于,某一个确定的常数,则称,A,为函数,当,记为,或,这里,三、多元函数的极限,时的极限,说明：,（,1,）定义中 的方式是任意的；,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例,2,求证,证,当 时，,原结论成立,例,3,求极限,解,其中,值或有的极限不存在,，,则可以断定函数极限,不存在,.,例,4.,讨论函数,函数,趋于不同,若当点,以不同方式趋于,解,:,设,沿直线,趋于点,则有,在点 的极限,.,值不同极限不同,!,在,点极限不存在,.,例,4,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,不存在,.,观察,播放,确定极限,不存在,的方法：,利用点函数的形式有,四、多元函数的连续性,定义,3,对二元函数,，,如果,则称函数,在点,处连续,.,例如,函数,又如,函数,上间断,.,在圆周,在点,极限不存在,故,为其间断点,.,注,（,1,）,（,2,）,二元连续函数是一个无孔无缝的曲面,如果函数在,上,各点处,都连续,则称此函数,在,上,连续,例,5,讨论函数,在,(0,0),处的连续性,解,取,故函数在,(0,0),处连续,.,当 时,例,6,讨论函数,在,(0,0),的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在,(0,0),处不连续,闭区域上连续函数的性质,（,1,）最大值和最小值定理,在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（,2,）介值定理,多元初等函数,：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫,多元初等函数,例如,等都是二元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（,注意趋近方式的,任意性,）,五、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能,.,例,取,但是 不存在,.,原因为若取,练 习 题,3,、若,则,_.,则,_.,的定义域是,_.,4,、若,函数,练习题答案,不存在,.,观察,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,
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