第4讲 10节等价关系与集合分类

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,10,节,等价关系与集合分类,第,4,讲,一、集合的分类,例,1,设整数集,可知，,是整数集,的一些子集,，并具有,以下特征：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以,4,余数相同的整数组成。,一般的，任取一个正整数,，都能将,成,个两两不相交的非空子集的并，,使得每个,子集恰好是由除以,余数相同,的整数组成的。,则被,分解成偶数子集和,特别地，取,奇数子集的并。,分解,例,2,设,是,矩阵组成的集合，令,易知，,的这三个子集满足以下特征：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,上一切二阶,说明：,二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。,定义,设,为任一个集合，而,是,的一些,其中,是指标集，如果,（,2,）,（,3,）,则称,是,的一个分类,而,中每个元素,都叫做,在,下的一个类,.,的一些子集组成的集合，,（,1,）,例,1,中，,的分类,使在同一类里的整数除以,4,之后余数都相同，,而分在不同类里的整数除以,4,后，得到的余,数也必然不同,.,之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分,在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同,.,在分类,例,2,中，,注意,：可以看出，对每一个确定的分类,来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种,共同的性质，而分在不同类的元素所具有的,这种性质也必不同。,“同类元素都具有某种关系，不同类的元素,一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完,全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会,千篇一律地都是“差被,4,整除”这种关系，比如例,2.,但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般,来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的,“某种关系”而得到的,.,这就是下面要讨论的问题,:,二、等价关系,定义,设,为集合，,对，错,，那么,由上述定义知，,中任一对元,，都可以,判定是否符合这个关系,.,到,的每个映射,就叫做,的一个,关系（也称为二元关系）,.,若,，就称,与,符合关系,若,，就称,与,不符合关系，记为,，记为,；,例,3,在,中，定义,“大于”关系,“整除”关系,“不互素”关系,在,中，定义,例,4,（实际上，,就是例,2,中的“秩相等”的关系）,例,5,设,M,是整数集，规定,不是整数集的关系,.,上述的例子分析可知：不是用,一个二元关系都能给,确定一个分类；,是需要具有特殊性质才行,.,的任何,也就是说，能够给集合,确定分类的二元关系,为此，我们必须研究下列特殊的二元关系,:,定义,如果具有以下三种性质：,2.,对称律（对称性）：,3.,推移律（传递性）：,时，习惯称,设是集合,上的二元关系，,1,.,反射律（反身性）：,当,时必有,当,时必有,且,那么关系叫做,与,等价,.,上的,等价关系,.,并且当,定理,1,：集合,A,的每个分类都决定了,A,的一个等价关系,.,证明：设,是,的一个分类，用,规定,上一个二元关系：,显然是,的一个关系，须证是等价关系,.,反身性：,2.,对称性：,若,我们可以,在同一类里,3.,传递性：,若,，由分类的特性知,综上，证得是等价关系,.,定理,2,集合,A,的任一个等价关系都可确定,A,的一个分类,.,证明：,令,，如此确定的这些子集具有：,(1),（,2,）,当,a,与,b,不等价时：,，由的对称性和传递性知,，推出矛盾，所以,.,若,（,3,）,的一个分类,.,注意：（,1,）,（,2,）若,定义,设,是,上等价关系确定的分类，,，并称,为,的关于等价关系的商集,.,习惯上记,因为,，那么每个,一个代表,而每类的一个代表组成的集合叫做,叫做这个等价类的,叫做,A,的一个等价类，而,A,的一个全体代表团,.,等价类与其代表元素的选取无关,一种重要的等价关系,同余关系,任取,，可以在,中确定一种等价关系,则称,为模,的同余关系，并将,记为,由同余关系确定的分类中的类为模,的剩余类,.,而由同余关系引导出来的商集,习惯上记为,.,（要求熟练掌握）,例,6,设 试确定集合 上的全部等价关系,.,解,由,定理,知，只要求出的 全部分类,也,即求出的 所有可能的子集划分即可,(1),如果 分划为一个子集,则有,;,(2),如果 分划为两个子集,则有,3,种分法,(3),如果 分划为三个子集,则有,因此,上共有五个不同的等价关系,它们是,注,如果用 表示一个具有 个元素的集合上,的不同等价关系的个数,则有下列的递推公式,:,其中,为二项式系数,并,规定,Thanks a million,