第2节 矩阵的运算

单击此处编辑母版标题样式,矩阵的加法,主要内容,数与矩阵相乘,矩阵的乘法,方阵的幂,第二节 矩阵的运算,矩阵的转置,方阵的行列式,矩阵矩阵乘积的意义,伴随矩阵,1.,定 义,设,A,(,a,ij,),m,n,与,B,(,b,ij,),m,n,是,A-B,=,A,+(-,B,).,阵,.,显然有,A,+(-,A,)=,O,.,由此可定义矩阵的,差,为,若记 -,A,=(-,a,ij,),则称,-,A,为矩阵,A,的,负矩,矩阵,A,与矩阵,B,的和,，记为,A,B,两个,同型矩阵,，称,m,n,矩阵,C,(,a,ij,+,b,ij,),m,n,为,一、矩阵的加法,例,1,设,(1),问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求,其和,哪些不能进行加法运算,说明原因,;,(2),求,C,的负矩阵,.,(1),A,与,B,能进行加法运算,;,阵,A,和,B,都是,32,矩阵,C,是,22,矩阵,.,B,与,C,不能进行加法运算,因为它们不是同型矩,而,A,与,C,解,(2),C,的负矩阵为,:,2.,运算规律,设,A,B,C,为同型矩阵,则,(1),A+B=B+A,(,加法交换律,);,(2),(,A+B,)+,C,=,A,+(,B+C,)(,加法结合律,);,(3),A,+,O,=,O,+,A,=,A,(4),A,+(-,A,)=,O,.,其中,O,是与,A,同型矩阵,;,1.,定 义,设,A,=(,a,ij,),m,n,k,是一个数,则,为数,k,与矩阵,A,的,数量乘积,简称,数乘,记为,kA,.,称矩阵,二、数与矩阵相乘,例,2,设,且,在,求矩阵,X,.,两端同加上,得,解,两端乘以,得,2.,运算规律,设,A,B,为同类型矩阵,k,l,为常数，则,(1),1,A,=,A,;,(2),k,(,lA,)=(,kl,),A,;,(3),k,(,A+B,)=,kA+,kB,;,(4),(,k+l,),A,=,kA+,lA,.,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的,线性运算,.,设某地区有甲、乙、丙三个工厂,每个工厂都,产 品,工 厂,甲,乙,丙,20 30 10 45,15 10 70 20,20 15 35 25,产量,(,单位,:,个,),如下表所示,:,生产,、,、,、,4,种产品,.,已知每个工厂的年,引例 总收入与总利润,三、矩阵的乘法,已知每种产品的单价,(,元,/,个,),和单位利润,(,元,/,个,),项 目,产 品,单 价,单位利润,100 20,150 45,300 120,200 60,求各工厂的总收入与总利润,.,如下表所示,:,解,容易算出各工厂的总收入与总利润,也,项 目,工 厂,总收入,总利润,甲,乙,丙,15500 5650,28000 10350,19750 6775,本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设,可以列表如下,:,易见 矩阵,A,的列数,=,矩阵,B,的行数,矩阵,C,的行数,=,矩阵,A,的行数,矩阵,C,的列数,=,矩阵,B,的列数,.,如果记,A,=(,a,ij,),34,B,=(,b,ij,),42,C,=(,c,ij,),32,则,c,ij,=,a,i,1,b,1,j,+,a,i,2,b,2,j,+,a,i,3,b,3,j,i,=1,2,3,j,=1,2,我们把矩阵,C,称为矩阵,A,与矩阵,B,的,乘积,.,注意,:,只有当,第一个,矩阵,(,左矩阵,),的,列数,等于,第,二个,矩阵,(,右矩阵,),的,行数,时,两个矩阵才能相乘,.,1.,定 义,设矩阵,A,=(,a,ij,),m,p,B,=(,b,ij,),p,n,i,=1,2,m,j,=1,2,n,则称矩阵,C,为,矩阵,A,与矩阵,B,的乘积,记作,C=AB,.,c,ij,=,a,i,1,b,1,j,+,a,i,2,b,2,j,+,a,ip,b,pj,C,=(,c,ij,),m,n,其中,例,3,已知,求,AB,.,因为,A,是,24,矩阵,B,是,43,矩阵,定义有,其乘积,AB=C,是一个,23,矩阵,由矩阵乘积的,解,9,-2,-1,9,9,11,左,i,行右,j,列对应元素相乘再求和等于,乘积的,(,i,j,),元素,对于线性方程组,若令,则上述线性方程组可写成矩阵形式,:,AX,=,b,.,关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点,:,(1),矩阵的乘法运算不满足交换律,.,(2),两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,.,(3),矩阵的乘法不满足消去律,即如果,AB=CB,B,0,不一定能推出,A=C,.,但,A,C,.,例如,定义 对矩阵,A,与,B,，,若有,则称,A,与,B,是可交换的。,例,4,设 ，,计算,AB,与,BA,解,该例题还表明，矩阵乘法没有交换律；且 但,例如，,n,阶单位矩阵,E,和,n,阶方阵,A,是可交换的,两个非零矩阵的乘积,可能是零矩阵,.,例,5,设 求与,A,可交换的所有矩阵。,解 设,B,与,A,可交换，则,B,应是,2,阶方阵，不妨记,由 ，即,得,所以 解得,故与,A,可交换的所有矩阵为,其中,a,、,c,为任意常数。,2.,运算规律,(1),O,k,m,A,m,p,=,O,k,p,A,m,p,O,p,n,=,O,m,n,;,(2),设,A,是,m,n,矩阵,E,m,是,m,阶的单位矩,(5),k,(,AB,)=(,kA,),B,=,A,(,kB,).,(,B+C,),A,=,BA+CA,;,(3),(,AB,),C,=,A,(,BC,);,(4),A,(,B+C,)=,AB+AC,E,m,A,=A,AE,n,=A,;,阵,E,n,是,n,阶的单位矩阵,则,四、方阵的幂,另外还规定，,0,=,E.,相乘称为,的,m,次幂,，记为,m,即,1.,定义,设,A,是,n,阶矩阵,m,是正整数,m,个,2.,运算规律,设,A,为方阵,k,l,为正整数,则,阶方阵,A,与,B,一般来说,(,AB,),k,A,k,B,k,.,又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个,n,A,k,A,l,=,A,k+l,(,A,k,),l,=,A,kl,.,由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵：,例如,设,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,m,x,m,为,x,的,m,次多,项,式，,A,为,n,阶，记,f,(,A,)=,a,0,E,+,a,1,A,+,a,m,A,m,，,f,(,A,),称为,矩阵,A,的,m,次多项式,.,3.,矩阵多项式,定义,f,(,A,),并且,应为和,A,同阶,的,方阵,.,设,A,为方阵,可定义,矩阵,A,多项式：,五、矩阵的转置,1.,定 义,把矩阵,A,的行换成同序数的列得到,例如矩阵,的转置矩阵为,一个新矩阵,叫做,A,的,转置矩阵,记作,A,T,或,A,.,2.,运算规律,设,A,，,B,，,C,，,A,1,，,A,2,，,，,A,k,是矩阵，且,(,A,1,A,2,A,k,),T,=,A,k,T,A,2,T,A,1,T,;,(1),(,A,T,),T,=,A,;,(2),(,B+C,),T,=,B,T,+C,T,;,(3),(,kA,),T,=,kA,T,;,(4),(,AB,),T,=,B,T,A,T,;,则,它们的行数与列数使相应的运算有定义，,k,是数，,(5),若,A,为,n,阶矩阵,则(,A,m,),T,=(,A,T,),m,A,为反对称矩阵的充要条件是,A,T,=-,A,.,(6),A,为对称矩阵的充要条件是,A,T,=A,;,m,为正整数;,例,5,已知,例,6,设,A,为,n,1,矩阵,且,A,T,A,=,E,n,E,n,为,n,阶单位矩阵,B=E,n,-,2,AA,T,证明,:,B,为对称矩阵,且,B,2,=,E,n,.,由于,:,B,T,=(,E,n,-,2,AA,T,),T,=,E,n,-(2,AA,T,),T,=,E,n,-2(,A,T,),T,A,T,=,E,n,-,2,AA,T,=,B,因而矩阵,B,为对称矩阵,.,B,2,=(,E,n,-,2,AA,T,)(,E,n,-,2,AA,T,),=,E,n,-,2,AA,T,-,2,AA,T,+,4,AA,T,AA,T,=,E,n,-,2,AA,T,-,2,AA,T,+,4,A(A,T,A)A,T,=E,n,.,证明,又,证毕,例,7,证明任一,n,阶矩阵,A,都可表示成对称阵与,反对称阵之和,.,证明,所以,C,为对称矩阵,.,所以,B,为反对称矩阵,.,命题得证,.,六、方阵的行列式,1.,定 义,由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列,式,(,各元素的位置不变,),叫做,方阵,A,的行列式,记,作,|,A,|,或,det,A,.,2.,运算规律,设,A,B,为,n,阶方阵,为数,则有,(1),|,A,T,|=|,A,|;,(2),|,A,|=,n,|,A,|;,(3),|,AB,|=|,A,|,B,|.,(,determinant,),证（,3,）,设,其中,考虑 阶行列式,由第一章例,10,知：,另一方面,所以,七,、,伴随矩阵,行列式,|,A,|,的各个元素的代数余子式,A,ij,所构成的如下方阵,称为方阵,A,的,伴随矩阵,.,定 义,二阶,A,矩阵的伴随矩阵,.,AA,*,=A,*,A=|A|E,.,性质,证明,则,故,同理可得,一个很重,要的式子,公式,思考题,成立的充要条件是什么,?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,