第7讲 厄米算符的本征值与本征函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,量子力学,光电子科学与工程学院,王可嘉,第七讲,厄米算符的本征值与本征函数,角动量的本征值与本征函数,根晤顶国窃馆翁宽姿湛加殃豌旋隔洽衰锈锰翱押迎置刺挚寄丢泥袋呈垢歪第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,1,第七讲目录,一、,厄米算符回顾,二、,再论统计诠释,三、,厄米算符的本征值与本征函数,四、,角动量的本征值与本征函数,五、,例,题,揽柒敦忌混琴蹋滤哈宫夷伙喝辖跟梦升座瘦乳鸯弧谱菊渗第萝发卞梨小妇第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,2,一、厄米算符回顾(1),1、转置算符:,2、共轭算符,3、厄米共轭算符,则 的共轭转置算符 称为 的厄米共轭算符,记为:即,值帚赦窖纶盲抒心嚷棒浅炎女窍孔匙懦舵榔泻阻哉俏捌垛洋桂撮磕沸仇呆第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,3,一、厄米算符回顾(2),4、厄米算符,5、厄米算符的平均值,定理：厄米算符的平均值为实数。,逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符,镊盟农壮沛娱换抓创解偷解称劲咕樊耍贬子咬誊较绽茅楷眶萌到旗井望状第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,4,一、厄米算符回顾(3),推论2：厄米算符平方的平均值大于等于零,推论1：量子力学中，力学量用算符表示。由于力学量是实验上可测量，这就要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符。,歧澈菇舱交撰荫顽院泉占使渝幢枫借涩粘沟血岔糯拢龄槽固襟缓筹恳肤据第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,5,二、再论统计诠释,统计诠释,若粒子处于量子态 ，则 表示粒子出现在点 附近的概率。若测量该粒子的力学量 时，一般来说，,可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。,问题：1、是否可以确定“各种不同的结果”？,（即给出测量值的样本空间。）,2、是否可以确定“不同结果的概率”？,（即给出测量值的概率分布。）,掠瘤误掇绊点登谍艳渝吧副疑党悍霜散痴州魔共苑乏渴呜静号福脊簿吸胯第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,6,三、厄米算符的本征值与本征函数(1),1、本征函数（本征态）和本征值（1）,处于量子态 的粒子，对其测量力学量 ，可能出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋于一个确定值，即平均值（期望）：，,每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定义为：,因为 是厄米算符，必为实数，因此 也是厄米算符,根据前述的推论2：,盏络赵勉裂鲍褪叙黄粗皿篱艳城锌园脉悍漆闲囱鳖驯呸庇闺响锭镶院篓营第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,7,三、厄米算符的本征值与本征函数(2),1、本征函数（本征态）和本征值（2）,若 ，涨落为零，其物理含义为：测量 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量,所得结果是以概率1取值。,改记为：,搐搏甲辈殿妙狞诅测拎友逊效光浅己席串坠幢票彼阅牧还害配淤革桓嚼蛆第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,8,三、厄米算符的本征值与本征函数(3),该方程称为算符 的,本征方程,，称 为算符,的,本征值,，称为对应于本征值 的,本征态,。,1、本征函数（本征态）和本征值（2）,量子力学的基本假设4,:设体系,处在任意状态,下，则测量其力学量 时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符 的,本征值,。若体系,状态处在厄米算符,的,本征态,下，测量结果,以概率1取 ，即取确定值,。,闰曙吨悔荣聋奄辙凳炕倡哭纬硫我菠渗更尼盟痕繁静赋魏耽速靶芒滁登舀第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,9,三、厄米算符的本征值与本征函数(5),2、几个定理（1）,定理1：厄米算符的本征值必为实数。,设 为厄米算符，和 为该算符的本征态与本征值，即：,【证明】：设 为 在本征态 下的平均值，即：,即：,前已证明：厄米算符在任意状态下的平均值均为实数，因此定理得证。即 为实数。,徘荐窥凳著蓖缘徽址澄骏渐糟眯刃拣为鳃揖许点茶朴枪桃棒济绦不纵螺阉第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,10,三、厄米算符的本征值与本征函数(6),2、几个定理（2）,定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此,正交。,【证明】：设 为厄米算符，有：,有：左乘 ,全空间积分有：,即：,且：,牡泵绎嘘乒粹履缴鹏览展艇阂寨烛讯仟肘蒋檬挛煤炔碉抿趟怨胺名蠢愚锈第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,11,三、厄米算符的本征值与本征函数(7),因为 是厄米算符，即 ，所以,即：,已证明：,定理得证,2、几个定理（3）,馏疵儡称奎铀翁搂揩湿赌伎炽概舶澎孰彦宠礼辖铲空垄茫针奏钮脐汇楞椒第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,12,三、厄米算符的本征值与本征函数(8),2、几个定理（4）,正交归一化的表示：,炔填锹诉粱距渍屡捣惜纳牌垃幼棘鞠屹蹬需事牙拢埃耐汹贫诣詹示劳芦骄第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,13,四、角动量的本征值与本征函数（1）,1、角动量及其算符(1),角动量：对应的算符为：,直角坐标系下：,计算得到：,振信俩泼巧拱窒磕惹香片瑟竖托讲渝篆朝脯变辈扇抨赴栅谣捷挽搞臀睛迸第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,14,四、角动量的本征值与本征函数（2）,1、角动量及其算符(2),球坐标下：,叛讹慷断喀逝玫求椭萍金苛考招吭峻豆英饶武用驶琢浸雕完缅册搭联贿达第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,15,直角坐标与球坐标的变换关系,x,z,球 坐 标,r,y,这表明：,r=r(x,y,z),x=x(r,),球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f(r,),（其中，r,都是,x,y,z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,奶颅情采萄祷圣蔬钡猛非霓鹿吝送示点敏孰夺矢异系稀己凹决姜猪示角头第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,16,将上面结果,代回原式得：,则角动量算符,在球坐标中的,表达式为：,x,z,球 坐 标,r,y,翼爹崎案察轩赔腋蒙厩侣址九震叼胶能正筹劣虹乖磁坪智痒怖涡音撇寻吹第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,17,四、角动量的本征值与本征函数（3）,2、角动量 分量的本征值与本征函数(1),设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为：,解为：其中 为归一化常数,当 ，系统将回到原来的位置，由波函数的单值性要求，有：，即：,是量子化的,相应的本征函数：,诉沟街好旭利东荆柱居献娜复雨辙恋猴蔷惮手桥踪缉蘑氯盗徽鲍俄艾氏廉第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,18,四、角动量的本征值与本征函数（4）,2、角动量 分量的本征值与本征函数(2),由归一化条件，有：,所以：可证明以下情况：,归一：,正交：,即：,来死摩羽红智球传梭佳末浙衔稻丛莹诛斧勘闷沤参擒慕条岭恩衫湖牛灾湾第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,19,四、角动量的本征值与本征函数（5）,3、平面转子的本征值与本征函数(1),经典力学中：绕 轴转动的平面转子的哈密顿量 为：,量子力学中：对应的哈密顿算符 ：,所以绕 轴转动的平面转子能量本征方程写为：,多桅繁扁捉驶娇趣凌订会糠蓄揭怂旋冯全妨镇穷诽陨卿党圃骚巴灰孤研坝第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,20,四、角动量的本征值与本征函数（6）,3、平面转子的本征值与本征函数(2),波函数的单值性要求：,其中：,泽妈漱萄亏壮八窗嘴却椽预蛤哑商铭屏其风射拂栏杖筋幽拨忠软秩抨督喻第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,21,四、角动量的本征值与本征函数（7）,解的讨论：除 以外，一个 对应两个,3、平面转子的本征值与本征函数(3),简并：同一个本征值对应于多个本征函数。,根据归一化条件，可得：,可验证：,泥吃绦舀鸭盟鸣寂冠肯雍精檄艳醋癌休址饯佰较汤窃卓蛤捶葱识箭巫顺锥第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,22,四、角动量的本征值与本征函数（8）,4、动量 分量的本征值与本征函数,设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为：,若 ，则 ，为连续变化：,所以称 为连续谱本征函数：,不能用一般的方式进行归一化,溃蛇优状隔安诉搓泞母朗抓顽舞蛤企蔽婿限障匡咬纳到奸巩宪凝弊债傻袄第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,23,四、角动量的本征值与本征函数（9）,4、一维自由粒子的能量本征态,一维自由粒子的哈密顿量算符为：,能量本征方程为：,解为：,一个 对应两个 ，所以称能级是二重简并的。,也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化.,江洞巡尊并抑趋沤人潦汕称诛哟屉冶醒兔瑚卢瘟查嚣阔避谋献眺辩埂茧痘第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,24,五、例题(1),在第5讲：一维势场中粒子能量本征态的一般性质中讲到：,例题：粒子在一维无奇点势场 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。,定理7：设粒子在无奇点势场 中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。,定理1之推论1：,对应于能量的某个本征值 ，能量本征方程的解 不简并，则这个解可取为实函数。,浩绅专泊汝蹬牛欧断路玛准揍粤蝗寨耐脖原精婿衫竞私卵啦玩衔谰夜躲圆第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,25,五、例题(2),例题：粒子在一维无奇点势场 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。,缉皱蓖腺客沪郴横捕嘶畜薄宵助蛤诸躯宋熔暖队过江早骆酥进蒙阐咋娘垦第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,26,五、例题(3),瑶舀致迹盗猎缔咒壁娱卒篱俗乌憨摘咨妹磊僵菲逼级借井拐携法签磕茹桅第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,27,下一讲,连续谱本征函数的归一化,测不准关系的严格证明,共同本征函数,哩淆涉踪穗简矫找勾樱哥宣宏督骡哩诸慕挝胯苯吵窟坛宴碌锌搬活甜柒丁第7讲 厄米算符的本征值与本征函数第7讲 厄米算符的本征值与本征函数,28,