第五讲 命题逻辑(上)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 命题逻辑,什么是有效推理式,?,有效推理式与具体的有效推理有何区别和联系,?,形式化,的逻辑,系统,与具体推理论证有何联系,?,第一节 基本的有效推理式,问题,：下列推理是否有效？,（,1,）如果张珊是中国公民并且她有选举权，那么她年满,18,岁。,（,2,）张珊是中国公民，但是她还没满,18,岁。,所以,，张珊没有选举权。,一个推理的有效性是有其形式决定的,(p q)r,p,r,q,（,1,）如果这种商品价格低廉并且品质优良，那么它就能够畅销。,（,2,）该商品确实价格低廉，但是它不畅销。,所以,，这种商品品质不优良。,(p q)r,p,r,q,内容各异的种种具体推理则只是推理形式的代换实例，简称为例示。,一个,具体推理,是某个,推理形式,的代换,例示,，那么代换必须是处处进行。,所谓代换,处处进行,是指，用一个具体命题对一个变元进行代换，对该变元的每一处出现都必须用这同一个命题来代换。,什么是一个有效的推理？,如果,前提真,时,结论必然,是,真,的，我们就称前提和结论之间有必然的逻辑联系。,前提和结论之间具有,必然,逻辑联系的推理就是有效推理。,什么是无效推理？,如果前提和结论之间不具有必然的逻辑联系，那么前提真时结论是否为真不能确定，即不能由前提的真有效地推导出结论真，这样的推理就是,无效推理,。,有效推理的定义,设,命题序列,=p,1,，,p,2,，,，,p,n,，,q,是一个推理形式，其中,p,1,，,p,2,，,，,p,n,是前提，,q,是结论。,是一个有效的推理式，当且仅当，,的,每一代换实例,都使得：如果,p,1,，,p,2,，,，,p,n,真那么,q,真。,是无效推理式，如果,至少有一个,的代换实例使得：,p,1,，,p,2,，,，,p,n,真但,q,假。,如何判定一个推理是无（有）效式,？,(p q)r,p,q,r,（,1,）如果李司是中国公民并且他有选举选，那么他年满,18,岁。,（,2,）李司是中国公民，但是他没有选举权。,所以,，李司还没满,18,岁。,2,2,基本的有效推理式,1,简化式（简记为,-,）,pq,p,组合式（简记为,+,）,p,q,pq,“,菊花可以观赏。菊花可以入药。,所以,，菊花既可观赏又可入药。,”,“,当事人订立的合同既有书面形式又有口头形式。,所以,，当事人订立的合同有书面形式。,”,2,选言三段论（简记,-,）,pq,p,q,附加式（简记,+,）,p,pq,（,1,）,拍卖的物品是委托人所有的或者是委托人依法可以处分的。,（,2,）该拍卖物品不是委托人所有的。,所以,，该拍卖物品是委托人依法可以处分的。,”,3,分离式（简记,MP,）,p q,p,q,（,1,）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪动机。,（,2,）王武是犯罪嫌疑人。,所以，,王武有犯罪动机。,逆分离式（简记,MT,）,p q,q,p,（,1,）如果天在下雨，那么地是湿的。（,2,）外面的地不是湿的。,所以,，天没有下雨。,假言三段论（简记,HS,）,p q,q r,p r,（,1,）如果这种商品定价过高，那么将使企业丧失部分销售市场。（,2,）如果企业丧失了这部分销售市场，那么企业销售额将受到严重影响。,所以,，如果这种商品定价过高，那么企业销售额将受到严重影响。,如下推理式是无效的：,p q,p ,q,p q,q,p,4.,二难推理（简记,CD,）,(,pq,)(,rs,),pr,qs,二难推理的破坏式：,(,pq,)(,rs,),q,s,p,r,“,半费之讼,”,说明，要推出正确的结论，首先要求推理形式是有效的，形式无效的推理其结论一定不正确。但是，形式有效的推理结论是否正确还有赖于前提，如果前提象关于学费的契约那样是有问题的，结论也不一定正确。,总结,:,我们讨论了八个基本的有效推理式。显然，构成推理式的基本命题公式的逻辑特征决定了这八个推理式的有效性。,第二节 推理有效性的形式证明,2,1,推理有效性与,命题演算,逻辑研究的目的是判定一个推理是否有效及分析其根据，有了以上八个基本的有效推理式之后，我们就能判定一个由复合命题构成的推理是否有效了。,对于简单的由复合命题推理，我们可以直接根据这些基本有效式来判定推理是否有效。,（,1,）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪动机。,（,2,）王武有犯罪动机。,所以,，王武是犯罪嫌疑人。,（,1,）如果商品短缺日益严重，那么物价会上涨。,（,2,）如果存在生产过剩，那么物价不会上涨。,（,3,）如果存在通货膨胀威胁，那么财政控制将继续。,（,4,）如果政府改组，那么财政控制将取消。,（,5,）或者存在生产过剩，或者政府改组。,因此,，商品短缺不会日益严重，或者不再存在通货膨胀威胁。,建立命题演算系统有两种方法，一是,公理化,方法，一是,自然演绎,方法。,公理化的命题演算系统是在形式语言基础上增添公理和变形规则建构起来的。公理是推演的出发点，由公理根据推理规则推演出的是定理。,在公理化系统中，所有定理的可靠性依赖于公理是否成立和推理规则是否可靠。,自然演绎系统与公理系统有何不同？,自然演绎系统没有公理，,只有,一系列,推理规则,。它引入特定前提为假设，根据推理规则推演出结论而建构起来的演算系统。由于这个系统描述的推演关系比较直接而自然地反映了人们的思维过程，因而被称作自然演绎系统。,在自然演绎系统中，所有定理的可靠性则只依赖于推理规则是否可靠。,2,2,有效推理的形式证明,在命题演算系统中对推理有效性的证明称作形式证明。,形式证明的定义,一个形式证明是一个命题,公式序列,A,1,，,A,2,，,，,A,n,。其中的任一,A,i,（,1in,）或者是前提，或者是由前面的公式,根据推理规则,得到的。序列的最后一个公式,A,n,恰好是结论。,自然演绎系统形式证明是建立在推理规则基础之上的。这些规则大约可分为四部分：,一、基本推导规则，二、等值替换规则，,三、条件证明规则，四、间接证明规则。,一、基本推导规则,1,组合规则（,+,）,p,q,pq,2,简化规则（,-,）,pq,p,3,否定消去规则（,-,）,pq,p,q,4,附加规则（,+,）,p,pq,5,分离规则（,MP,）,pq,p,q,6,逆分离规则（,MT,）,pq,q,p,7,假言三段论（,HS,）,pq,qr,pr,8,二难推理（,CD,）,(,pq)(rs,),pr,q s,如何运用规则建立形式证明？,（,1,）如果商品短缺日益严重，那么物价会上涨。,（,2,）如果存在生产过剩，那么物价不会上涨。,（,3,）如果存在通货膨胀威胁，那么财政控制将继续。,（,4,）如果政府改组，那么财政控制将取消。,（,5,）或者存在生产过剩，或者政府改组。,因此,，商品短缺不会日益严重，或者不再存在通货膨胀威胁。,A B P,C,B P,D E P,F,E P,C F P,/,A,D,（,C,B,）（,F,E,）,+,B,E CD,（,A B,）（,D E,）,+,A,D CD,首先将该推理形式化，在此基础上建立该推理有效性的形式证明。,A B P,C,B P,D E P,F,E P,C F P /,A,D,2,3,等值替换规则,为什么要引入等值替换规则？,例如：,（,AB,）,C A C,等值替换规则,9,、交换律（,COM,）,(,pq,),(,qp,),(,pq,),(,qp,),10,、结合律（,Ass,）,(,pq)r,),(,p(qr,),(,pq)r,),(,p(qr,),11,、德摩根律,（,DeM,）,(,pq,),(,p,q,),(,pq,),(,p,q,),12,、分配律（,Dist,）,(,p(qr,),(,pq)(pr,),(,p(qr,),(,pq)(pr,),13,、实质蕴涵（,Impl,）,(,pq,),(,pq,),14,、假言易位（,Tran,）,(,pq,),(,q,p),15,、移出律（,Esp,）,(,(,pq)r,),(,p(qr,),16,、实质等值（,Equi,）,(,p,q,),(,pq,)(,qp,),17,双否律（,DN,）,p,p,18,重言律,（,Taut,）,p,(,pp,),p,(,pp,),（,AB,）,C A C,解：（,AB,）,C P A C,（,AB,）,C,Impl,(,A,B)C,DeM,(,AC)(,BC)Dist,AC,-,AC,Impl,例,3,如果他主张减轻农民的税负，他将赢得农民的支持。如果他主张政府增加对社会福利的投入，他将赢得工人的支持。如果他既赢得农民的支持又赢得工人的支持，他就肯定能当选。但是他没有当选。所以，或者他不主张减轻农民的税负，或者不主张政府增加对社会福利的投入。,AB,P,CD,P,（,BD,）,E,P,E,P ,A,C,（,BD,）,MT,B,D,DeM,（,AB,）（,CD,）,+,（,B,A,）,(,D,C),Tran,A,C,CD,