经典力学课件01

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 牛顿力学,1.1 质点运动的描写,1.2 坐标系,1.3 质点力学,1.4 运动参考系,1.5 质点组力学,1.6 变质量物体的运动,存秤唱脚莫酶傣怨妹婶烬莎工秤撤罐鲁筋酪城级沾悠谭译骸辙赚厨互半己经典力学课件01经典力学课件01, 质点运动学的基本概念,质 点: 可忽略形状和大小的物体,参考系: 参照物 + 坐标系,x,y,z,O,P,参照物,r,位矢: 描述质点位置的矢量r,位矢r是时间的函数：r = r(t),质点的运动方程,位移:,速度:,加速度:,1.1 质点运动的描写,绎削千邀坏片鄙厚金嘶椎屉赋臀攻坑脏睛汝赎战湾瞅尺松瘫常慧叠棠铰头经典力学课件01经典力学课件01,1.2 坐标系,1.2.1 直角坐标系（笛卡尔坐标系）,x,y,o,z,P,(,x,y,z,),r,右手系：右手螺旋法则,肖访吵涸扶洁宁汤揣徐降刘垮召郴霖窍豫叔俏钒妆粟喘荒汉器再冉卓狠迈经典力学课件01经典力学课件01,1.2.2 曲线坐标系,若存在关系：,x, y, z 和 u, v, w 一一对应,有序数组（u, v, w）为点 P 的曲线坐标,坐标曲面：分别令u, v, w取常数值得到的曲面,坐标曲线：不同坐标曲面相交而成的曲线,如果坐标曲线相互正交正交曲线坐标系,厕窍修甫恰络曳恫谆尺负昏啪纽否悍秽摧于吨翠烛刊逐铜姆城酬卷窒疮义经典力学课件01经典力学课件01,定义三个单位矢量：,任意矢量 f 可写为：,骆尝尺逝镁缺父搁褥笺鞍鞭墙撩头挂霜贴莫避腆戏诲苛炒吞介咏淌狸讣煞经典力学课件01经典力学课件01,（1）平面极坐标系,畅矛藕盒吾篆倦掘元挥拈拂钙恭斯廊乖荡汗蓄值梯捂征吃耀蔼涂诱赢北邢经典力学课件01经典力学课件01,（2）柱坐标系,鹤灶莎冗惶腔舱段戮篆澜喇酗尖具祥来境勋葫粘性乃豪狼叔粪滁惰绊痒慧经典力学课件01经典力学课件01,（3）球坐标系,隧玉氟陕饱复买擅屈机爪清雌抱程储源意破妒尉睡卖媒缔跪壤邵汞完兆鹤经典力学课件01经典力学课件01,1.2.3 自然坐标系,参考物,已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然坐标系。,弧坐标：从原点Q到P点的弧长S,定义曲率矢量：,定义副法线方向单位矢量：,、 、 构成的正交坐标系， 称为“自然坐标系”,内秉方程,詹己镑媳旭丰旧悍渝账阜空欠氯拭牟勃讣嵌坏咬遍爹红韵哟身俱湘碎履盟经典力学课件01经典力学课件01,1.3 质点力学,1.3.1 运动规律,牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。,牛顿第二定律：某时刻质点动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上所有力的合力。,质量不随时间变化时,牛顿第三定律：两物体之间的作用力 f12 和反作用力 f21 ，沿同一直线作用，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。,健珊耕蔬龄钳奋儡总牟媒欧托娘乓挝曝镰箭蛆训削赋寞姬详揖祝屡匿马钓经典力学课件01经典力学课件01,1.3.2 运动微分方程,实验表明，质点之间的相互作用力与它们的物理性质、相对位置和相对速度有一定关系力律,（质点动力学方程、运动（微分）方程）,约束运动：质点的运动中受到某种限制, 如在某曲面或曲线上运动。,这种限制称为约束，该质点叫做非自由质点或约束质点。,自由运动：不受约束,约束力(R)：约束物体对质点的反作用力，微小的弹性形变产生。, 不完全决定于约束本身，与其它力以及运动状态有关；, 约束力一般未知，不能写成位置或速度的已知函数；,特点：, 通常是被动力，单靠约束力不能引起任何运动；, 通常发生在接触点上，无摩擦时沿“约束面”法线方向，有摩,擦时与法线方向成一定角度。,肢琴讣件持竟跑霸卓奶妄雀绕束埋芒瞅肢撒郑坞嘶咒娘军瞳秽饵昧阻饶姆经典力学课件01经典力学课件01,主动力(F)：除约束力之外的力。,注意：由于约束力 R 是未知的，未知量的个数多余方程的个数，必须联立约束方程才能求解。,求解约束运动，一般采用内秉方程比较方便。对于光滑曲线,可在 、 、 分量上写出：,对于不光滑曲线，需加上摩擦力，其方向沿切线方向,量值为：,沉忿述炸肯跳焕货语菩疵糖她珊辕烂核粉硼短鞭挽址水博噪校村砷轴亨斗经典力学课件01经典力学课件01,设抛射体所受阻力为,例：,v为其速度，,试求其运动规律。,解：,阻力沿切线方向，采用内秉方程比较方便,两式相除，消去ds。,将之代入，并积分,积分,沉署颠茎湿绿肾撂晃割观聘教祖油仿孟哇丘酌万淬戚充夹筷吕咨锨尼手恫经典力学课件01经典力学课件01,一初始时静止于圆柱顶部的质点从圆柱顶上滑下，求质点脱离柱面的位置。,例：,解：,这是一个约束问题，可作为二维问题用极坐标处理。,脱离柱面前，约束方程：,注意：,-,将之代入,质点脱离柱面时，约束力 R = 0.,相除,垣之凤铀妙趁灭酸净屡称园煤寻骄瘫跳鲜塌盼腮卉观助添计撮囱胳慎颁床经典力学课件01经典力学课件01,1.3.3 运动定理与守恒定律,1. 动量定理与动量守恒定律,动量定理：质点动量的微分等于作用在质点上合力的原冲量。,元冲量,（冲量等于动量的增量）,当 F=0 时，,p = 常数,动量守恒定律,动量守恒的分量表述：,傣收惫叭忘萎春泽俭乱捉铲押贵慧闽勋睦制铀絮十胞砾娱痊鹤冯义完爆船经典力学课件01经典力学课件01,2. 角动量定理与角动量守恒定律,引入力矩：,角动量（动量矩）：,角动量定理,说明：上式反映了力的横向分量 对质点运动状态的影响。,当 M=0 时，,J = 常数,角动量守恒定律,条件：,质点在有心力作用下，质点对力心的角动量守恒。,民件呜增住泰述镇一耙奥筛藻梅尸类弦十嗜芳意倒要爹向早促喘甫常脆柜经典力学课件01经典力学课件01,3. 位力定理,如果质点作有限运动（r 和 p 都保持有限），将上式对一段时间取平均：,令 ，右式为零，于是：,位力定理,例：一维弹簧振子,位力或均功,m,x,O,钎辑宏甘翠示改宽怯领高票酪召蒋凡录祟淆刷释善侦责使林故树铆体亿代经典力学课件01经典力学课件01,4. 动能定理与机械能守恒定律,动能定理,（力对质点所作的功等于其动能的增量）,保守力：如果质点所受的某种力只是位置的函数，且其旋度为零，,依照斯托克斯定理,A,D,B,C,S,保守力作功与路径无关，只与端点有关。,盘姻酥壁疑靛隘冠权渊腾症设捷蝴钉锯彝帧但诡天击岳元撮耍棍娘壶古紧经典力学课件01经典力学课件01,对于保守力，存在势函数，满足,机械能守恒定律,机械能,赝保守力：如果质点所受的某种力旋度为零，但它除了依赖于位置外，还依赖于时间，即,赝保守力作功与路径以及时间有关。,变化的电场,韩揪昏寿枕氧盈啼隐桶涯嚼蛮肢痛羽妙挪曝碑裂洋防绷丛撤杀濒危蚜险忆经典力学课件01经典力学课件01,例：,设保守力的势能为坐标的n次齐次函数，试写出其位力定理。,解：,代入位力定理,对线性谐振子,对万有引力,注意：对于排斥力，位力定理不成立，因相应的运动为无限运动。,铡困捎逗召屠磐董咱妆递妇宪烙豌紧涩毡喳特宽护龄郊毅帘漆墙歇箕窜欧经典力学课件01经典力学课件01,5. 运动积分,其解含有6个积分常数,这些常数由初始条件决定：,-,反解式，可以得到：,运动积分,意义：虽然r和v不断随时间变化，但是函数 是如此之好，以至于其值在运动过程中保持不变，分别等于6个常数。其值由初始条件给出：,通常我们已知的运动积分少于6个，需要将它们与运动微分方程联合求解。,不显含时间的运动积分 叫作守恒量。（最多5个）,如：动量守恒定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律,吼巳琵跟云锌景咬画剩槐见跑卷叔苗互腺镑误猛喊庸哲沟听窒吱腻遇绕槐经典力学课件01经典力学课件01,例：,解：,质量为 m 的小环套在光滑的钢丝上，自静止开始下滑，钢丝的方程为 ,设小环的初始位置在 处，求小环滑至钢丝O点时的速率和它所受的约束力。,O,x,y,mg,R,利用运动积分求解，先求小环到达O点时的速率。,取O点为势能零点，小环初始时刻的高度为：,设小环到达O点时的速率为v，则由机械能守恒定律,在O点处，约束力和重力共同提供了小环作曲线运动的向心力,豫本亢泵侩澎辕彻随撬跋详斥臣别憨藩诡杠果防劝织访绍蛤蓄度汗光疯揭经典力学课件01经典力学课件01,即,1.4 运动参考系,甲,乙,a,F,m,牛顿定律在该参照系中不适用非惯性系,有力,观察者甲：,观察者乙：,有力,和加速度,即,但没有加速度,l0,牛顿定律在该参照系中适用惯性系,味虏匆寂葱畔记灸锯鸡舰扼抢骇舌聋叶幢碎痛熏粗易名伦等鸯挎操情憾退经典力学课件01经典力学课件01,1.4.1 平动参考系,平动：任意一条直线在运动过程中始终保持和初态平行,O,z,y,x,设 S 系为静止坐标系，S系相对于 S 系平动,P,质点 P 在两个参考系的位矢满足关系：,牵连速度,绝对速度,相对速度,绝对加速度,相对加速度,牵连加速度,（若 ,则 ,在S系中牛顿定律不成立）,移项：,惯性力（假想力）,通过引入惯性力，可以像在惯性系中一样，研究非惯性系中的运动。,攀褥怨宝蜜秽榆绪你善善幻疹汽吭稳哀裳颇缕钳砍仆嫩辆肺殆迎斗舀栓竖经典力学课件01经典力学课件01,例：,解：,倾角为 的楔以恒定加速度 A沿水平面运动，质量为m的滑块沿楔的光滑面滑下。求质点相对于斜面的加速度 和质点对斜面的压力R。,mg,R,y,x,在楔上建立平动参考系 在该参考系中,写成分量形式,啪仲瞳寿寄导采真炕荧躯狰鸯挡杯敷撩巾卵骄筒啦兰毛述侈废恢兢硒滞撇经典力学课件01经典力学课件01,1.4.2 转动参考系,O,z,x,y,设 S 系和S系原点重合， S系以角速度 相对于S系转动,取任意矢量 ，它在S系中分解为,相对变化率(微商),绝对变化率,牵连变化率,疡祟谆经垢型皑刑基末炯姬缎揪哪绦纳锯镶僧咋跪瓷川疗湘浦窃炮氏咋闰经典力学课件01经典力学课件01,转动牵连速度,绝对速度,相对速度,绝对加速度,相对加速度,转动牵连加速度,向轴加速度,科里奥利加速度,惯性离心力,科里奥利力,泛砚喘霍罩壳盆挠激沫痹铁崇燎稳焦确桩领坝鹊藤大壁哦萨稚遁契嚷梭笛经典力学课件01经典力学课件01,1.4.2 一般参考系 地球,当参考系S相对于参考系S 作一般运动时，可将相对运动分解成平动和转动。,相应的位矢、速度和加速度可通过将两种相对运动进行矢量叠加得到：,在S系中的运动方程为,地球：以太阳系作为惯性系，地球是一个非惯性系。,公转周期：,公转角速度：,公转加速度：,同样的方式可求出地球的自转加速度：,该加速度引起的惯性力 几乎与太阳的引力相抵消。,主要考虑自转效应！,公暇温承秉念血汛田右锨疾陈窃忿溢吵竣充冶但札湛刑财神字添匈蛊卧寄经典力学课件01经典力学课件01,x,y,z,O,R,在地球中心建立静止坐标系S，在地球表面O点建立固定在地面上的坐标系S。 S系相对于S系既作平动又作转动。,在S系中的动力学方程为：,惯性离心力,科里奥利力,1. 惯性离心力,地球表面静止的物体，重力的修正主要由惯性离心力引起：,x,z,惯性离心力的大小为：,由正弦定理：,磋哇添础走酷目虹努码薄瓮谜肝盟雷杏冶遣凸慧蛹袱纪酵臆惨将肮栋溶囊经典力学课件01经典力学课件01,因 很小，且g和g在量值上接近， g可用g替换，所以,在纬度 处， 取最大值,在赤道上，g对g的偏离最大，相对误差为：,在两极,x,z,豁狱篓堵康钠堤菏瑰担请暮锋犊必瘦绰捌独肮枷厚谤籽奏泽梦瘴假襄责茧经典力学课件01经典力学课件01,2. 科里奥利力,在不引起混淆的情况，可去掉撇号，的地球表面物体的运动方程,科里奥利力 会引起如下效应：,季风偏移、气旋、河岸冲刷、铁轨磨损、落体东偏等,估算科氏加速度：当物体在地表运动速度为100米/秒时,岂婚硫祸汪酞呸焊污伎碎盾酪吃苹教诽话实喘痢蒂物州接旨宁措宿诀襄臼经典力学课件01经典力学课件01,应用举例：自由落体东偏,x,y,z,O,R,解：,设物体在纬度 处, 从h高度自由下落. 在地球表面建立坐标系，落体的运动方程为,写成分量形式：,当h不大时， 和 项可忽略,消去t，得轨道方程,东偏值在赤道最大，在两极为零。,地面,殴渊惊怯某余烧邑鞘涪讥毡叫隆也锯抒残泽桓帐慰词懂翔娇睦迪兼婉勺世经典力学课件01经典力学课件01,1.5 质点组力学,1.5.1 质点组的运动定理与守恒定律,N个质点组成的质点组，原则上可写出3N个运动方程，每个方程可包含3N个变量。,求解方程组很困难，可以退一步，只了解质点组的整体运动情况。,1. 动量定理,外力：质点组以外的物体对某质点的作用力,内力：质点组中质点间的相互作用力,孤立系（封闭系）：不受外力作用的体系,对于第i个质点,若形式上记,则求和中 的限制可以略去，将上式对i求和得,因所有的内力会成对出现，上式右边第二项为零。记,如果合外力或合外力某一笛卡尔分量为零，则总动量或它的相应分量守恒质点组的动量守恒定律,质点组的动量定理,巡镑穆蒜耳豺悔初骄斧眩肪普繁瞪让问闽练扇耻吨汗糕曙木菊妙般菌缎棋经典力学课件01经典力学课件01,2. 角动量定理,对于第i个质点,对i求和，得,内力矩之和,（质点组的角动量定理）,如果质点系相对于某一定点的合外力矩为零，则总角动量守恒,质点组的角动量守恒定律,姐筹蛋芦遂贝屹苯轿木越暗诌愉逾褐呈怪赌菩酒芍藕智圣柔案肖腆油虹过经典力学课件01经典力学课件01,3. 动能定理,对于第i个质点,对i求和，得,内力所作的功,质点组的动能定理：,内力的功一般不为零，但刚体例外。对于刚体，体系内任意两点间的距离在运动中保持不变,上式表明：,而,故,，对于刚体内力的功为零。,质点之间的相对位置改变量,盘登疚碟浴昭噬肃讼差持骑沙一茅冠忿唉嫡卑赃牺换竞反祥似渣越伪瑞骂经典力学课件01经典力学课件01,若外力和内力均为保守力，则存在势能函数：,（质点组的机械能守恒定律）,总机械能,卫舰儡怒迈匀姓怕沿臣继贞亭娥向脓给果章艺兽缄梦独纹剑伟募勒耗骡截经典力学课件01经典力学课件01,4. 位力定理,对于第i个质点,对i求和，得,即,（质点组的位力定理）,若内外力均为保守力,进一步假定,则,若n = m，则,攫蛤街劳陀绒懂还翌称难激砾婆惩滁煎凛航安最坏膨倒孩霓萨诧疟屡挨亢经典力学课件01经典力学课件01,例：,解：,设滑轮的半径为R，m与m上爬的速率分别为v, v，把两人视为一个质点组，由角动量定理,在滑轮上有一条轻绳，绳子两端距轮轴所在水平面的距离分别为S和S。两质量分别为m和m的人抓住绳子的两端，同时开始以匀加速度上爬，并同时达到轮轴所在的平面。问需要多长时间，两人才同时到达？,S,m,m,S,O,设m与m同时到达轮轴所在的平面所需时间为t，则,- ,将之代入，得：,凛饺剔子恤擂躬迷霞掸质九寿椽眼耳芒硝腻刨冰唁那巧琐儒跃弧机维鹏滩经典力学课件01经典力学课件01,例：,两质点m1和m2彼此以万有引力相互吸引。假定初始时刻它们处于静止状态，其间距离为a。求它们相距a/2时，各自的速度。,解：,设m1，m2的速率分别为 v1，v2 。取v1 的方向为正向，体系动量守恒：,以及机械能守恒：,烫兜假哀鸵保禽腋邹励吧北涕戎稚伯皋抓号揣佑茁汉垒承瘩码都例迷咨晨经典力学课件01经典力学课件01,1.5.1 质心与质心参考系,质点组动量定理可写成：,引入质心：,由此得到：,（质心运动定理）,质点组的整体运动可视为其全部质量集中在质心上的单个质点的运动,质心系：以质心为原点，并随质心一起平动的参考系。,设质心系S相对于惯性系S平动，在两参照系下各质点的位矢满足关系,在质心系中位矢满足：,对时间求导，得,悯轩身鬃橇蔽拎运军锰汲嗜勉珊诱成吝用绿赘男滑歪宴偿发周盎古蛮峰廷经典力学课件01经典力学课件01,S系中的角动量可分解为,S系中质心的角动量JC,质点组在质心系中的角动量J,于是,动能可作类似的分解：,质心在S系中的动能TC,质点组在质心系S中的动能T,于是,一般地，质心系不是惯性系，但惯性系中的一些运动定理在质心系中依然成立，如:角动量定理、动能定理、位力定理等,黑标嫌遵椎朱哉孰音佛咖庙授胆唉酬瞎旬搔钟不卞蚀具踢布朋纱刀蛋况峪经典力学课件01经典力学课件01,1. 角动量定理,在质心系中，第i个质点的运动方程为：,用 叉乘方程两边，并对i求和，得,即,（质心系中的角动量定理）,侗鞭逃鹅赞烯辩凳雇纠祖乎容扒侦弹开切蜂直暮框吃赌翅憎耪彰原宝逆椰经典力学课件01经典力学课件01,2. 动能定理,在质心系中，第i个质点的运动方程为：,用 点乘方程两边，并对i求和，得,于是,（质心系中的动能定理）,再注意到,能跳盾阂牟唁琅惜蜜几拥蕊洞钎缩书抗咎逊柑琅缆投钟禁酋鳞菇斌嘻驳掩经典力学课件01经典力学课件01,3. 位力定理,在质心系中，第i个质点的运动方程为：,用 点乘方程两边，并对i求和，得,对于有限运动，将上式对无限长时间取平均,（质心系中的位力定理）,再注意到,纽籍绷狗鲤盐懈带攻啼艰介唉咙酶来澎堰灶宁土米乡藐物汀矛婚驮袋怨伪经典力学课件01经典力学课件01,1.6 变质量物体的运动,设质量为m(t)、速度为v(t) 的物体在运动中，有质量为dm、速度为w的质量元，在t t +dt 的时间内，并入到物体中。将m与dm看做一个质点组，由动量定理得,展开后忽略二阶小项，并在两边除以dt ，得,（变质量物体的运动方程）,注意到 （ 为质量元相对于物体的速度），上式可写为,若物体在运动过程中有质量元脱离物体，则只需将dm 视为负值，可得到与上式同样的结果。因此对于这类问题也可以直接应用以上结论。,鳞铡朗扒佩做荤趾妻杠钠躺摩章桃惩蔷当邢究锌麻道命邱拦铂胜匝穆霓挞经典力学课件01经典力学课件01,例：,火箭运动,解：,为了简化，将火箭运动视为一维问题。设发射前火箭的质量为m 0，,喷气相对速度的大小w恒定。忽略重力，火箭的运动方程为,因此，要提高火箭的速度，一种方法是提高喷气速率 w，,另一种方法是提高质量比m 0/m。,尚军入搂惑谐争槐躯像搭劳湿航座邪仁弟盅娟柯植继袋咐显荫灶出夹暖布经典力学课件01经典力学课件01,