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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.2,导数的计算,第,1,课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,1,2,主题,几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式,1.,怎样利用定义求函数,y,f(x),的导数？,3,提示：,(1),计算 ，并化简,.,(2),观察当,x,趋近于,0,时，趋近于哪个定值,.,(3),趋近于的定值就是函数,y,f(x),的导数,.,4,2.,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度,.,(1),函数,y,f(x),c(,常数,),的导数的物理意义是什么？,(2),函数,y,f(x),x,的导数的物理意义呢？,5,提示：,(1),若,y,c,表示路程关于时间的函数，则,y,0,可以解释为某物体的瞬时速度始终为,0,，即一直处于静止状态,.,(2),若,y,x,表示路程关于时间的函数，则,y,1,可以解释为某物体做瞬时速度为,1,的匀速运动,.,6,3.,利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？,提示：,可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度,.,7,4.,你能发现,8,个导数公式之间的联系吗？,提示：,公式,6,是公式,5,的特例，公式,8,是公式,7,的特例,.,8,结论：导数的描述,0,cos,x,-sin x,9,10,【,微思考,】,1.,对于一些带有根号的函数如何求导，如,y=,？,提示：,把,y=,转化为,y=,后再求导,.,11,2.,若,f(x)=+2,，则,f(x),的导数是多少？,提示：,函数,f(x)=+2,+2,为常数，所以,f(x),的导数是零,.,12,3.,若,f(x)=x,2,则,f(m),的含义是什么？,提示：,含义是函数,f(x)=x,2,在,x=m,处对应的导数值,.,13,4.,原函数的定义域与导函数的定义域相同吗？,提示：,不一定,.,如,f(x)=,与,f(x)=,的定义域不同,.,14,【,预习自测,】,1.,曲线,y=x,n,在,x=2,处的导数为,12,，则,n,等于,(),A.1B.2C.3D.4,【,解析,】,选,C.y=x,n,求导，得,y=nx,n-1,，令,n2,n-1,=12,，解得,n=3.,15,2.,已知,f(x),2,x,，则,f(1),_.,【,解析,】,因为,f(x),2,x,，所以,f(x),2,x,ln 2,，,所以,f(1),2,1,ln 2,2ln 2.,答案：,2ln 2,16,3.,正弦函数,y=sin x,在,x=,处的切线方程为,_.,【,解析,】,求导，,y=cos x,，代入,x=,，可得曲线,y=sin x,在,x=,处的切线斜率为 ，又切点纵坐标为,sin,，即 ，所以所求切线方程为,y-=,(x-),，去分母化简得,12y-6=x-,，即,x-12y+6-=0.,17,答案：,x-12y+6-=0,18,4.,一物体在曲线,s=,上运动，则该物体在,t=3,时的瞬,时速度为,_.,【,解析,】,因为,s=()=,，所以该物体在,t=3,时的瞬时速度为,s(3)=.,答案：,19,5.,点,P,是曲线,y=e,x,上任意一点，则点,P,到直线,y=x,的最小距离为,_.,20,【,解析,】,根据题意设平行于直线,y=x,的直线与曲线,y=e,x,相切于点,(x,0,，,y,0,),，该切点即为与,y=x,距离最近的点,，如图，则在点,(x,0,y,0,),处的切线斜,率为,1.,因为,y=(e,x,)=e,x,21,所以,e,x,0,=1,得,x,0,=0,代入,y=e,x,，得,y,0,=1,，即,P(0,，,1).,利,用点到直线的距离公式得最小距离为,.,答案：,22,类型一,利用公式求函数的导数,【,典例,1】,(1),给出下列结论：,(cos )=-sin ;,若,y=,则,y=;,若,f(x)=3x,则,f(1),=3;,23,若,y=,则,y=.,其中正确的个数是,(),A1 B2C3D4,24,(2)f(x),，则,f(,1),(),A.B.-C.D.-,25,【,解题指南,】,(1),适当进行化简，再运用导数公式判断,.,(2),注意先对式子,f(x),化简，再求导,.,26,【,解析,】,(1),选,A.cos =,为常数，则,(cos ),=0,，所以错误；,y=()=(x,-2,)=,，,所以正确；因为,f(x)=3x,，所以,f(x)=3,所以,f(1),=0,所以错误；,y=()=(),=,所以错误,.,27,(2),选,D.,因为,f(x),，,所以,f(x),，,所以,f(,1),.,28,【,方法总结,】,应用导数公式求导的两个注意事项,(1),应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可,.,(2),对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导，如,y=,可以转化为,y=,后再求导,.,29,【,巩固训练,】,求下列函数的导数：,(1)y=.(2)y=.,30,【,解析,】,(1).,(2).,31,类型二,导数公式的应用,【,典例,2】,求曲线,y=x,4,在点,P(2,，,16),处的切线方程,.,【,解题指南,】,判断出点,P,在曲线上后求出该点处的导数,值，即得切线的斜率,.,32,【,解析,】,由已知得，点,P,在曲线上,.y=(x,4,)=,4x,4-1,=4x,3,.,所以当,x=2,时，,y=42,3,=32,所以点,P(2,，,16),处的切线方程为,y-16=32(x-2),，,即,32x-y-48=0.,33,【,延伸探究,】,1.,求曲线,y=x,4,过点,Q(0,，,-3),的切线方程,.,34,【,解析,】,显然点,Q,不在曲线上，设切点为,(x,0,y,0,),，,因为,y=4x,3,，,所以,4x,3,0,=,，与,y,0,=x,4,0,联立方程组，,解得,x,0,=1,，,y,0,=1,35,所以当切点为,(1,1),时，切线斜率为,4,，切线方程为,4x-y-3=0,；当切点为,(-1,1),时，切线斜率为,-4,，切线方程为,4x+y+3=0.,36,2.,已知直线,l,：,y=x-1,，点,M,为,y=x,4,上任意一点，求,M,在什么位置时到直线,l,的距离最短,.,37,【,解析,】,由题意知，在点,M,处的切线与直线,l,平行时，点,M,到直线,l,的距离最短,.,设,M(,x,1,y,1,),，因为,y=4x,3,，所,以,4x,3,1,=1,，解得,x,1,=,，所以点,M,的坐标为,(,).,38,【,方法总结,】,导数法解决切线问题,(1),利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点,.,(2),求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点,.,若切点没有给出，一般是先设出切点，然后求出切点坐标，最后求切线方程,.,39,【,补偿训练,】,1.,已知函数,y=x,2,的图象在点,(x,0,，,x,2,0,),处,的切线为,l,，若,l,也与函数,y=ln x,，,x(0,，,1),的图象相切，则,x,0,必满足,(),A.0,x,0,B.,x,0,1,C.,x,0,D.,x,0,40,【,解析,】,选,D.,函数,y=x,2,的导数为,y=2x,在点,(x,0,x,2,0,),处的切线的斜率为,k=2x,0,切线方程为,y-x,2,0,=2x,0,(x-x,0,),设切线与,y=ln x,相切的切点为,(m,ln m),0,m,1,又,y=ln x,的导数为,y=,41,可得,2x,0,=,切线方程为,y-ln m=(x-m),令,x=0,可得,y=ln m-1=-x,2,0,由,0,m,1,可得,x,0,，且,x,2,0,1,解得,x,0,1,42,由,m=,，可得,x,2,0,-ln(2x,0,)-1=0,令,f(x)=x,2,-ln(2x)-1,x,1,f(x)=2x-,0,f(x),在,(1,+),上递增，,且,f()=2-ln -1,0,f()=3-ln -1,0,则有,x,2,0,-ln(2x,0,)-1=0,的根,x,0,(,).,43,2.,设坐标平面上的抛物线,C:y=x,2,过第一象限的点,(a,a,2,),作曲线,C,的切线,l,则,l,与,y,轴的交点,Q,的坐标为,_,l,与,x,轴夹角为,30,时,a=_.,44,【,解析,】,因为,y=2x,所以,l,为,y-a,2,=2a(x-a).,令,x=0,得,y=-a,2,故,Q(0,-a,2,).,又因为,tan 30=2a,所以,a=.,答案：,(0,-a,2,),45,【,课堂小结,】,1.,知识总结,46,2.,方法总结,:,基本函数导数的求法,(1),定义法：即通过求函数的瞬时变化率求导数,.,(2),公式法：即利用基本初等函数导数公式求导数,.,47,
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