向量及其线性运算(精品)

*,空间解析几何,傅里叶级数,多元函数微分学,多元函数积分学,高等数学（下）,翟文娟,行政楼,B212,1,平面解析几何：,点 有序数对（,a,，,b,）,平面曲线,第八章 空间解析几何与向量代数,空间解析几何：,平面解析几何：,点 有序数对（,a,，,b,）,平面曲线,2,第一节 向量及其线性运算,向量概念,向量的,线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的,线性运算,向量的模 方向角 投影,3,1.,向量概念,数量：用实数表示,.,向量：既有,大小,又有,方向,的量,.,2.,向量表示,一、向量,(vector),概念,几何表示：以,为起点 为终点的,有向线段,.,零向量,模长为,0,的向量,.,方向？,单位向量,3.,向量的模,向量的大小,.,或,模长为,1,的向量,.,符号表示：,或,a b c,或,4,自由向量,不考虑起点位置的向量,.,负向量,相等向量,大小相等 方向相同,记作,4.,相关概念,记作,两向量共线,两向量平行,共面,若,k,(3),个向量经平移可移到同一平面上,则称此,k,个向量,共面,.,5,特殊地，若,(1),加法定义,二、向量的线性运算,（一）,向量的加减法,向量及其线性运算,三角形法则,平行四边形法则,6,2.,向量加法的运算规律,.,(1),交换律,:,(2),结合律,:,例如,:,考虑多个向量相加的情况？,7,三角不等式,(3),向量的减法,8,2.,数乘的运算规律,:,(1),结合律,:,(2),分配律,:,1.,定义,实数,与向量的乘积为一个向量,.,记为,模为,(,0),(,二,),数与向量的乘法,(,简称数乘运算,),实质,“伸缩”,9,考虑,:,向量 与 的关系？,结论：,规定 当,则,定理,:,两个非零向量 平行,存在唯一实数,，使得,(,方向相同或相反,),10,例,1,在平行四边形,ABCD,中,设,AB,=,AD,=,试用表示向量,MA,MB,MC,和,MD,.,解:,=,AC,=2,MC,有,MC=,又,=,BD,=2,MD,有,MD=,MB=,MD,MA=,MC,D,A,B,C,M,11,（三）空间直角坐标系,空间直角坐标系,称,坐标系，,或 坐标系,.,点,O,叫做坐标原点,(,或原点,),向量及其线性运算,以,分别表示沿,x,y,z,轴正向的单位向量,称为,基本单位向量,.,三个坐标轴的,正方向符合,右手规则,轴,轴,轴,12,由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为,坐标面,分别叫,xoy,面.,yoz,面、,zox,面,z,IV,VI,V,VII,0,x,y,VIII,II,III,I,它们将空间分成八个卦限.,1.,坐标面,13,2.,空间向量,(,点,),的坐标表示,OM,=,OP,+,PN,+,NM,=,OP,+,OQ,+,OR,=,x,i,+,y,j,+,z,k,R,Q,P,O,x,y,z,M,给定点,M,，,对应有向量,OM,设,OP=x,i,，,OQ=,y,j,，,OR=,z,k,，,定义,:,有序数,x,y,z,称为,OM,的坐标,，记为,OM=,（,x,y,z,）,也称为 点,M,的坐标，记为,M,(x,y,z,),空间的点,有序数组,（坐标分解式）,14,特殊点的表示,:,坐标轴上的点,坐标面上的点,15,点,M,(2,-,3,1),分别关于,坐标原点,、,xOy,面,、,y,轴,的对称点是,(),(,A,)(,-,2,3,-,1);(,B,)(,-,2,-,3,-,1);,(,C,)(2,-3,-,1);(,D,)(,-,2,3,1).,16,向量及其线性运算,（四）,利用坐标作向量的,线性运算,（坐标分解式）,17,由,按坐标表示式即为,:,当分母有一个为零理解为分子也为零,.,注,向量及其线性运算,也即向量,与,对应的坐标成比例,:,设向量,定理,存在唯一的实数,18,解,设,为直线上的点,o,x,y,z,A,B,例,3,已知两点,以及实数,在直线,AB,上求点,M,使,同理,得,特别当 时，,M,点坐标,19,五、向量的模、方向角、投影,1.,向量的模与两点间的距离公式,则有,由,勾股定理得,因,得,两点间的距离公式,:,对,两点,与,OM,=,OP,+,PN,+,NM,20,例,4,证明以,M,1,(4,3,1),M,2,(7,1,2),M,3,(5,2,3),三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解,:,由,|,M,2,M,3,|=|,M,3,M,1,|,所以,M,1,M,2,M,3,是等腰三角形.,21,例,5,在,z,轴上求与两点,A,(,4,1,7,),和,B,(3,5,2),等距离的点.,解,:,设该点为,M,(0,0,z,),由题设,|,MA,|=|,MB,|.,即:,解得,:,所求点为,M,(0,0,),22,设有两非零向量,任取,空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的,夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三,坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,2.,方向角与方向余弦,23,方向余弦的性质,:,24,例,7,已知两点,M,1,(2,2,),和,M,2,(1,3,0).,计算向量,M,1,M,2,的模,方向余弦和方向角.,解,:,M,1,M,2,=(,1,1,),|M,1,M,2,|=,25,解,:,已知,角依次为,求,点,A,的坐标,.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故,点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,例,8,设点,A,位于第一卦限,26,空间一点在轴上的投影,过点,A,作轴,u,的垂直平面,即为点,A,在轴,u,上,的,投影,.,空间一向量在轴上的投影,轴,u,称为投影轴,.,已知向量的起点,A,和终点,B,在轴,u,上的投影分别为,那么轴,u,上的有向线段,的值,称为向量在轴,u,上的,投影,.,3.,向量在轴上的投影,27,Projection,在轴,u,上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴,u,上的,投影,记为,投影性质,1,投影等于向量的模乘以,向量及其线性运算,投影有正、,注,负之分,;,模只为正值,.,28,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和,.,向量及其线性运算,投影性质,2,投影性质,3,29,解,向量及其线性运算,求向量,例,x,轴,上的,投影及在,y,轴,上的分向量,.,在,x,轴,上的投影为,在,y,轴上的分向量为,30,向量及其线性运算,六、小结,向量的概念,向量的线性运算,（,注意,:,与数量的区别与记法）,(,平行四边形法则,三角形法则,注意数乘后的方向,),空间直角坐标系,空间两点间距离公式,(,注意它与平面直角坐标系的,区别,),(,点、坐标轴、坐标面、卦限,),31,向量在轴上的投影与投影性质,.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,.,向量的模与方向角,.,(,注意分向量与坐标的,区别,),向量及其线性运算,利用坐标作向量的,线性运算,.,32,思考题,1,向量及其线性运算,解,对角线的长为,求以向量,为边的平行四边形的对角线的长度,.,平行四边形的对角线的长度各为,33,B,已知平行四边形的三个顶点,则与顶点,B,相对的第四个顶点,D,为().,提示,:,思考题,2,向量及其线性运算,34,D,B,C,A,O,思考题,2,解答,向量及其线性运算,35,