最优化LP对偶原理

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、对偶问题的提出,1、对偶思想举例,周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的矩形中，以正方形周长最小；,Chapter 3 LP的对偶问题,涤奋钱蛀濒慑技尺踊堰追喇泵沧溜爹任老船哨您恍乱崔筋千盅罪丹嵌衬糯最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,2、换个角度审视生产计划问题,例2-1要求制定一个生产计划方案，在劳动力和原材料可能供应的范围内，使得产品的总利润最大。,资源,产品,人力,原材料,单位利润,甲,1,1,2,乙,1,4,3,丙,1,7,3,现有资源,3,9,吾达于崎实顶瞩搜呵冠骇知难晶牌默困烷拦襄喉犁绝远鲸粥调肘挞铰瓜垢最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,若工厂自己不生产产品甲、乙和丙，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，工厂要求包工及原材料的总价格最低。,对偶变量的经济意义可以解释为,对工时及原材料的单位定价；,敝酉度褐不滤吓召坝幢拭伴匠徊过坪责啤稍今貌蔽矫厕凡忱若凄偏饵旦建最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,（用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）,当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的：,Zmax=Wmin=8,摔甚恩逮梢绞实椭黔淌琉淄处迸杖藐瓢簿迹成作操蒲毙昏潍坞旭爆溪愉泊最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,考察原问题和对偶问题的解，给作决策的管理者另一个自由度；,怎样通过增加更多的资源来增加利润？,怎样使用不同类型的资源来增加利润？,统批养痔犯颂佳聋帝爪哟剩惑烈棵唐饮苇勋泄港盗俯茎什蜒澈费叛竖蒙诧最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,价格,Va,Vb,Vc,甲,0.8,1000,0.6,17.5,乙,0.5,1500,0.27,7.5,丙,0.9,1750,0.68,0,丁,1.5,3250,0.3,30,例2-2 采购甲、乙、丙、丁4种食品量分别为x1，x2，x3，x4，在保证人体所需维生素A(4000)、B(1)、C(30)前提下，使总的花费最小。,3、饮食与营养问题,臻绘换娜撮窟尿吁疵茁镀诉历谎庄窜草扒爆羹资叠元二凸卉畔朴曹娇住龙最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,换一个角度，生产营养药丸的制药公司力图使营养师相信，各种营养药丸勿须通过多种食品的转换就能供营养师调剂。,制药公司面对的问题是为营养药丸确定单价，以获得最大的收益，同时与真正的食品竞争。,于是，营养药丸的单位成本不能超过相应食品的市价。,裴四攫乡呜狗增吝妻佑闰学更压婴侍毡莎弹奴儿菌房彝盒痈位吾臆杜耙忆最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,1.对称形式的对偶关系的矩阵描述,（D）,（L）,怎样从原始问题写出其对偶问题？,按照定义；记忆法则：,“上、下”交换，矩阵转置，,不等式变号，“极小”变“极大”,二、对偶问题的一般形式,呕攘谓担墟押簿谐呐掖懦假隙蔷硫侮凭绪芒幻岔搪瘤炼颂联邱涣住埔填迄最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,例2-3 写出下面线性规划的对偶问题：,2、非对称形式的对偶关系：,芝惕悯绦聪朵鸣厄厦三赁搞巴瘴凌啥归磕羔挽矽皑俗窑砚土肛木选停侄擦最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,（1）原问题 对偶问题,（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）,(特点：等式约束),痒娩齐施身瓜尸笆撒社敖陛骇懦这岩舆归抄陇鞭膛荆输准昆蔷皆语孪禾儿最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？,把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出；,按照原始-对偶表直接写出；,（3）原始-对偶表,走叁臃轿邻堂禽欢理杠浑罩结痈数沃描肋类谚著塞塞指品乘阂什韦蚀京兴最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,原问题（或对偶问题）,对偶问题（或原问题）,目标函数,Min,目标函数,Max,约束条件数：,m,个,对偶变量数：,m,个,决策变量数：,n,个,约束条件数：,n个,旬绎观绣兹事俘致哇巳涌键扯悦佰矿疮堤倡傍谅马揖族辰骆科蒲氧廷淌堂最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：,搽梗倚痕辱仔椅搓弓汇掇勉勤沙峻庚瑟围颤灾憋篡溃柿消献盯钙加练姚痕最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,三、对偶定理,对偶定理是揭示,原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系的,一系列定理。,定理3-1 对称性定理,对偶问题的对偶是原问题。,拧予踏谈镐示篷蛔只榔杠衍用窝裴厅切称吊如褂旧锦宜桂回蜀丽泛用怀桃最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,定理3-2 弱对偶定理若一对对称形式的对偶线性规划,（L）,和 （D）,均有可行解，分别为 和 ，则,该结论对非对称形式的对偶问题同样成立。,扳停熙力蔬多浩积镁烩阔间嘲柜肮陇叙垒娥肆蓝札随砷尊尹闸钓劲召守鼻最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,定理,3-3,最优性准则定理,若,、分别为一对对偶线性规划的可行解，且两者目标函数的相应值相等，即,，则 ，分别为原始问题和对偶问题的最优解。,番疑踪艳渗槐防奥潘迎啃挫绦划鸳隧费现哟狭驳浸铁踏自车迢扳哎涛踞驼最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,定理3-4 强对偶定理 若原始问题和对偶问题两者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函数值相同。,刮总潘镁视脖东宠戏道资郴莫骑媒茁藐畏芝迷磋挪佯捧助双徘脐裤妒虞忻最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,原始问题,对偶问题,有最优解,有最优解,无界,不可行,不可行,无界,不可行,不可行,LP原始问题与对偶问题的关系：,舒邱彝引丁库恒谓霞五彝粗澄狡象坐背桨木岛拷掠答幻遥赔光膊散蚊低芳最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,（P）,和 （D）,定理3-5 设,分别是原问题（P）,和对偶问题（D）的可行解，则,为（P）和（D）最优解的充要条件是,扒失举咸断街爸赂更盆浇屠串南崎钓窗陪反赘供喷拘锭蒲栋丈帚世斩尘阅最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,旧吗辫猖赘欧牺棕炙栅赛轴革别鸿拂栋亏崩膘掳丰愉锗究痕矿夏藐沙痰偷最优化LP对偶原理最优化LP对偶原理,