计算方法-数值积分课件

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,*,数值积分,小组成员:,数值积分小组成员:,引言,在数学分析中，当f(x)在区间a,b上连续且具有原函数F(x)时，我们往往采用Newton-Leibniz公式来求积分：,然而，随着学习的深化，发现牛顿-莱布尼兹公式存 在的很大的局限性,引言 在数学分析中，当f(x)在区间a,b上,Newton-Leibniz公式的局限性,对大多数f(x)而言，找原函数困难，即使存在原函数也不能用初等函数表示,原函数表达式过于复杂,被积函数由表格给出，没有解析形式，也无法使用Newton-Leibniz公式来求积分,Newton-Leibniz公式的局限性,数值积分,为了避免上述积分过程中存在的问题，我们可以采用数值积分的方法来求解，这样就避免了原函数的求解过程，同时对于由测量或计算得到的数据表表示的f(x)也可以求解,主要有五种方法，对应五种计算公式：,梯形法 中值法,辛普森积分法,高斯积分法 高斯积分法-三点公式,数值积分,梯形公式,x0 x0+,原理介绍:,用一个梯形来近似代替每个子区间的面积,如下图所示，,用,图中阴影部分,梯形面积替代曲边梯形的面积,，积分过程如下图所示:,梯形公式 x0,梯形公式,而对于整个区间x0,x1,可通过累加求和得到，其中区间x0,x1被分为n等份，每个区间长度为 ，因此区间x0,x1上的积分可通过下述式子得到,梯形公式而对于整个区间x0,x1,可通过累加求和得到，其,梯形公式算法,for(int i=0;i20;i+),area1=0;,x=PI/intervalsi;,for(int j=0;jintervalsi;j+),area1=area1+0.5*(f(j*x)+f(j*x+x)*x;,double e=(area1-2)/area2;,area2=area1-2;,coutsetiosflags(ios:left)setw(6)intervalsi,setw(7)intervalsi+1 setw(20)area1-2 setw(6)eendl;,梯形公式算法for(int i=0;i20;i+),辛普森积分法,x0 x0+x0+,原理介绍:,把区间x0,x1分为,2n,等分，,n,个区间，在长度为 的区间上 进行泰勒展开，可得区间x0,x0+上的积分形式如下所示:,辛普森积分法x0 x0+x0+原理,辛普森积分法,辛普森求积公式的几何意义是用一条过三点的抛物线,(如上图中三点),近似代替被积函数的曲线,从而用一个二次抛物线所围成的容易计算的曲边梯形面积,(图中阴影部分),来近似代替原来的曲边梯形的面积.,x0 x0+x0+,辛普森积分法辛普森求积公式的几何意义是用一条过三点的抛物线(,辛普森积分法,通过对n个区间按上述公式累加，可得区间x0,x1上的积分形式为,注意,:,因为该公式是把区间x0,x1划分为2n等份，n个区间，因此在用循环求积分时，要注意其上下限,辛普森积分法通过对n个区间按上述公式累加，可得区间x0,x,辛普森算法代码,for(int i=0;i20;i+),area1=0;,x=PI/intervalsi;,for(int j=0;jintervalsi;j+),area1=area1+x*(f(j*x)+4*f(j*x+0.5*x)+f(j*x+x)/6;,double e=(area1-2)/area2;,area2=area1-2;,coutsetiosflags(ios:left)setprecision(12)setw(6),intervalsi setw(7)intervalsi*2+1,setw(20)area1-2 setw(6)eendl;,辛普森算法代码for(int i=0;i20;i+),高斯积分,通过待定系数法及泰勒展开找到两个相对精确的评估点,高斯积分通过待定系数法及泰勒展开找到两个相对精确的评估点,高斯积分,for(i=0;i10;i+),s=0;,x=(x1-x2)/intervalsi;,for(j=0;jintervalsi;j+),s+=function(x1+(0.5-,sqrt(3.0)/6)*x+j*x)+function(x1+(0.5+sqrt(3.0)/6)*x+j*x);,s=s*x/2;,error1=s-2;,Error_Ratio=error1/error2;,error2=error1;,coutsetiosflags(ios:left)setw(6)intervalsi,setw(7)intervalsi*2 ,setw(15)error1 setw(10)Error_Ratioendl;,高斯积分 for(i=0;i10;i+),算法特色,代码简洁，用一个双重循环，两个主要变量实现了计算过程，在空间和时间上做到了最优化。,for(int i=0;i20;i+),area1=0;,x=PI/intervalsi;,for(int j=0;jintervalsi;j+),area1=area1+x*(f(j*x)+4*f(j*x+0.5*x)+f(j*x+x)/6;,double e=(area1-2)/area2;,area2=area1-2;,算法特色代码简洁，用一个双重循环，两个主要变量实现了计算过程,算法特色,采用,C+,中类的思想用虚基类继承的方式实现五种不同的积分方法,虚基类：,class Integration,public:,virtual double integra()=0;,Integration()x1=0;x2=3.1415926;,Integration(double t1,double t2),x1=t1;,x2=t2;,protected:,double x1,x2;,double f(double x);/每个类只能对一个函数积分,;,继承的子类,class Trapezium_Integration:public Integration,public:,Trapezium_Integration(double t1,double t2),x1=t1;,x2=t2;,double integra();,;,算法特色采用C+中类的思想用虚基类继承的方式实现五种不同的,double Trapezium_Integration:integra(),int i,j=0,intervals=1;,double xx,value_integ20,x11;,while(intervals=524288),x11=x1,value_integj=0;,xx=(x2-x1)/intervals;,value_integj=value_integj+f(x11);/,利用公式计算,for(i=1;iintervals;i+),x11=x11+xx;,value_integj=value_integj+f(x11)*2;,/x11=x11+xx;,value_integj=value_integj+f(x2);,value_integj=value_integj*xx/2;/,最终积分值,j+;,intervals=intervals*2;,double e20;,for(i=0;i20;i+),ei=value_integi-2;,cout.precision(15);,for(j=0;j20;j+),coutvalue_integj ej ej+1/ejendl;,return 0;,double Trapezium_Integration:,算法特色,把所有积分方法放在一个.cpp文件中,，,以菜单形式进行选择,算法特色把所有积分方法放在一个.cpp文件中，以菜单形式进行,算法特色,结果输出清晰，且精度高，能保留到小数点后13位(中值法),算法特色结果输出清晰，且精度高，能保留到小数点后13位(中值,算法特色,将各方法的误差一次性输出，能直观的看出各积分方法的误差大小并进行比较,算法特色将各方法的误差一次性输出，能直观的看出各积分方法的误,总结,通过本章的学习，我们更深刻的理解了数值积分的原理及实现方法，并且在小组讨论中，学习到了如何实现代码的简洁、减少变量的定义以及如何实现代码时间与空间的优化等，大家都有所收益,总结,Thank You!,Thank You!,