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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,一、重点与难点,重点：,难点：,1.,复数运算和各种表示法,2.,复变函数以及映射的概念,1.,复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2.,映射的概念,3,二、内容提要,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线,与区域,判别定理,极限,的计算,4,1.,复数的概念,5,1),两复数的和,2),两复数的积,3),两复数的商,2.,复数的代数运算,6,4),共轭复数,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,共轭复数的性质,7,3.,复数的其它表示法,（,1,）几何表示法,8,（,2,）向量表示法,复数的模,(,或绝对值,),9,模的性质,三角不等式,复数的辐角,10,辐角的主值,11,（,3,）三角表示法,利用欧拉公式,复数可以表示成,称为复数,z,的指数表示式,.,（,4,）指数表示法,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,12,4.,复数的乘幂与方根,1),乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,;,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,.,则有,13,几何意义,复数相乘就是把模相乘,辐角相加,.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,14,两个复数的商的模等于它们的模的商,;,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,.,则有,15,2),幂与根,(a),n,次幂,:,16,(b),棣莫佛公式,17,5.,复球面与扩充复平面,南极、北极的定义,(1),复球面,18,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,.,我们可以用球面上的点来表示复数,.,我们规定,:,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大的几何表示,.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,复球面的定义,19,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面,.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,.,(2),扩充复平面的定义,20,6.,曲线与区域,（,1,）邻域,（,2,）内点,21,如果,G,内每一点都是它的内点,那末,G,称为,开集,.,(4),区域,如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域,.,(a),D,是一个,开集,；,(b),D,是,连通的,即,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连结起来,.,(3),开集,22,(5),边界点、边界,设,D,是复平面内的一个区域,如果点,P,不属于,D,但在,P,的任意小的邻域内总有,D,中的点,这样的,P,点我们称为,D,的,边界点,.,(7),有界区域和无界区域,D,的所有边界点组成,D,的,边界,.,(6),区域,D,与它的边界一起构成闭区域,.,闭区域,23,没有重点的曲线,C,称为简单曲线,(,或若尔当曲线,).,(8),简单曲线,24,(9),光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线,.,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成三个互不相交的点集,.,简单闭曲线的性质,25,(10),单连通域与多连通域,复平面上的一个区域,B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于,B,就称为单连通域,.,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域,.,从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕,的域,.,26,7.,复变函数的概念,(1),复变函数的定义,27,(2),映射的定义,28,函数极限的定义,注意,:,8.,复变函数的极限,29,极限计算的定理,30,与实变函数的极限运算法则类似,.,极限运算法则,31,（,1,）连续的定义,9.,复变函数的连续性,32,连续的充要条件,连续的性质,33,有理整函数,(,多项式,),有理分式函数,特殊的,:,在复平面内使分母不为零的点也是连续的,.,34,三、典型例题,35,36,其几何意义是三角形任意一边的长不小于,其它两边边长之差的绝对值,.,37,38,解,39,解,40,解,41,例,6,满足下列条件的点组成何种图形,?,是不是区,域,?,若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域,.,解,是实数轴,不是区域,.,是以,为界的带形单连通区 域,.,解,42,是以 为焦点,以,3,为半,长轴的椭圆闭区域,它不是区,域,.,不是区域，因为图中,解,解,在圆环内的点不是内点,.,43,例,7,函数 将 平面上的下列曲线变成 平,面上的什么曲线？,解,又,于是,表示 平面上的圆,.,(1),44,解,表示 平面上以 为圆心，为半径的圆,.,放映结束，按,Esc,退出,.,
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