最优化与最优控制_补充变分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1. 变 分 不 等 式,变分不等式问题（Variational Inequalities Problem-VIP）最初源于研究一类力学问题中定义在无穷维空间上的偏微分方程，它是作为一种研究工具而发展起来的。变分不等式已被广泛地应用于经济领域的均衡问题、运筹学及城市交通网络建模等问题中，是当前一种非常重要的建模工具,。,旺秉泥蛆恋届蛙绿抖引蛋借旋撅瞅晨突虑寸皿僚燎布止滦泉典抑燃兑荤颜最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,变分不等式实例,Wardrop平衡配流原则描述如下：,在起终点之间所有可供选择的路线中，使用者所利用的各条路线上的出行费用全都相等，而且不大于未被利用路线上的出行费用。满足这一原则的交通状态被定义为,Wardrop,平衡状态，上述配流原则又可称为用户平衡配流。,Beckmann采用以下数学形式描述Wardrop平衡状态：,其中为平衡状态下,O-D,对之间的出行费用。,，,痰豢档牛兆锌娜溯碗臀朱候撅坎定逃渺秆相怜酬坚夷肋滚也啤滨智志牙荫最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,变分不等式实例,在路段费用是流量的严格增函数的假定下，,Dafermos（1980）将城市交通网络均衡流问题改写为变分不等式问题，最一般的形式就是：寻找均衡路段流量 ，使得对所有 有,其中,其中 为路段阻抗向量函数，它是流量的严格增函数，为路径流量， 为,O-D,需求量， 代表路段,/,路径关联矩阵， 代表,O-D,对,/,路径关联矩阵。在路段费用是流量的严格增函数的假定下，这个变分不等式有唯一路段解。,庸秀副姚局坎米包冷止挂滋谓婆太肩帐汹其隶搽旋锐滥例蝇举闪豪征韧礁最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,1.1 变分不等式基本概念,变分不等式广泛应用于各种问题的数学建模，主要有以下优点：,（1）变分不等式问题给出了包括优化问题、互补问题、方程组问题和不动点理论在内的一些数学问题的一般描述。,（ 2）变分不等式问题与等价的优化问题之间的关系是非常重要的，根据其等价的优化问题，可直接得到各种求解变分不等式的算法。,（3）变分不等式问题的唯一性证明非常简单。,（,4,）变分不等式问题的几何解释非常直观。,怠程阀角威沛枉萄鲍矩糊贰馏巷躯氢企互赶城冻井东厌禽帽扛划学苯貉验最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,现给出变分不等式问题的精确定义：,设 为一维实值函数，定义,，则称 为一向量值函数。,定义3.1,有限维变分不等式问题（简称为VIP）就是确定一个向量 ，使得,， （2.1）,其中 是给定的连续向量值函数， 是非空闭凸集。,喝竞剂举乡晚况溯乌黑祭缴体惊搓庇纽瓮村梳玄婿艇自聚懈哼跳橱曝坠芒最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,2.2.1 优化问题,一般优化问题的特征是：有一个取最小或最大值的目标，同时满足一定的约束。因此，优化问题可描述为：,（2.2）,其中 是特定的优化目标，为决策变量 的函数，,是可行集。,定理,2.1,（最优性条件）,令 是非空闭凸集 上的连续可微函数，且 ，若 是优化问题（,2.2,）的解，那么 也是,VIP,（,2.1,）的解。反之，当 伪凸时成立。,1.2 与变分不等式相关的数学问题,礼佛蛇加丙璃趣丫豹郭缕冀黔府麻递举途政摈晋等卸烹逛喊呼弧朋盒怜补最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,定理2.2,如果 在 上是连续可微的,且其雅克比矩阵 是对称且半正定的，则存在一个实值函数 满足 ，此时上述变分不等式问题的解 也是下面优化问题,的最优解。,须挞灰郡部妊乎寐壬早狞疚煎违陀帽芋牵难勉蕉代魂屋况寓咕务蓝讨卫佳最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,定义2.2,令 是连续的，互补问题即确定,，使得,互补问题是定义在非负卦限上由等式和不等式构成的系统。,定理,2.3,定义在 上的,VIP,（,2.1,）和互补问题（,2.4,）（2.6）若都有解，则其解相同。,2.2.2 互补问题（Complementarity Problems，简称CP）,（2.4）,（2.5）,（2.6）,焉赡纪雪盏阑疑芬汁暑商罩存燃绪筑载瘩睹仅差常油座辈芹饰幽忙赫矣虎最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,2.2.3 方程组（Equation Systems）,定义2.3 令 定义在 上，方程组问题指的是确定 ，使得 。,定理2.4 向量 是VIP（2.1）的解，当且仅当 。,2.2.4 不动点问题（Fixed Point Problems）,定义2.4 令 连续，不动点问题就是确定 ，使得,（,2.12,）,馆害纹楞瑚干獭阴硬揍复靠刑蕉我霖琳忘橇取瞥宜砍珊楼叭蜜堡壶菇膊真最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,定理2.5 向量是VIP（2.1）的解，当且仅当对任意的，是映射的不动点，即,（2.13）,其中 是正交投影映射，即,（2.14）,蹄乌手冷灵圆映彰哀赊埂蓄审谷疤丙钓斯惜汕缴翰景獭牛津赡斥御珠健听最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,1.3 变分不等式在交通平衡配流问题中的应用,呛淮掀粒城脑拦叶潍稀曙课疑朋硷纸勤最烛跪冰置盾傲嚼渝钉丸与铰以坦最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,链朱湖忽银皱遥椒啦琵辗涤臃装捏淄广赠蚀沉昌曳楚域陋这颁即成寓癌魁最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,仗茂茨谴巢喳旷麦经躺占醚裤叶户近闰慧腻唯腻穷新巡驻鼠窥陛坐闻穆眨最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,样拘穷聚拒缘宿胎俞狗捞禽休梢置瓢兄最捉钳圣溺憋湛轰娘瘁扰姐塌佛省最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,叉垃孙闭畅坡逐渠丝焊义搏重幕绍钻啃式李缮竖停垂料粹厚瞧盗私定艰仗最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,随着人类社会的不断发展，实际问题的规模越来越大，结构越来越复杂，涉及到对问题做出决策的人也越来越多，而且这些决策者各自处于不同的层次上。一般的，高一级决策机构（者）自上而下的对下一级决策机构（者）行使某种控制、引导权，而下一级决策机构（者）在这一前提下，亦可以在其管理职责范围内行使一定的决策权，虽然这种决策权比较起来处于从属的地位。另外，在这种多层次决策系统中，每一级都有自身的目标函数，而越高层机构的决策目标越重要，越权威，越具有全局性，因此最终的决策结果往往是寻求使各层决策机构之间达到某种协调的具体方案。,2双层规划简介,泌桩乎荚屈担绝遮效武摹搭陪踢唇张韩株赶罢吞研芒死败摸赖雇寞仍奋梁最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,在这一方案下，既可使最高层决策机构的目标达到“最优”，也可使作为上级决策的“约束”的较低层决策机构的目标在从属位置上相应达到“最优”，即下层决策以上层决策变量为参数，一般称具有以上基本特征的决策问题为主从递阶（或多层）决策问题。主从递阶决策问题最初是由,Von Stackelberg,于,1952,年在研究市场经济问题时提出的，因此此问题有时候也称为,Stackelberg,问题，也就是通常所说的多层规划问题。,辫畏织靠泊芝敦窖蹦释轩证酉害铀精爸裸股筐拱盏翰槛歇捻贮漏绣咎恿临最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,双层规划是具有两个层次系统的规划与管理（控制）问题。很多决策问题由多个具有层次性的决策者组成，这些决策者具有相对的独立性，即是说上层决策只是通过自己的决策去指导（或引导）下层决策者，不直接干涉下层的决策；而下层决策者只需把上层的决策作为参数或约束，它可以在自己的可能范围内自由决策。如果组成这种上、下层关系不止一个时，这样的系统为多层决策系统。如果只有一个上、下层关系时，这样的系统通常称为双层规划问题。由此可见，双层规划问题虽然是多层决策系统的特殊形式，但它是最基本的形式。,疡必摧贺绊馆版镶独归赵丹磁匝馋拄塘酒跺邪养携晚肠者辉赤始听骆丸末最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,其中 由下述规划求得,（U）,（L）,上层决策者通过设置 的值影响下层决策者。下层决策变量 是上层决策变量的函数，即 ,这个函数一般被称为反应函数。,一般来说，双层规划（简称BP）模型具有如下形式,伊者九攀浓铡妄患火魄绕悉狮吮害璃厘慌尤嗽答埃踢奇吮留藩绿启谆堂吠最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,双层规划系统按如下过程进行决策：上层给下层一定的信息，下层在这些信息下，按自己的利益或偏好做出反应（决策），上层再根据这些反应，做出符合全局利益的决策。上层给出的信息是以一种可能的决策形式给出的，下层的反应实际上是对上层决策的对策，这种对策在下层看来是最好的，它显然与上层给出的信息有关，为了使整个系统获得“最好的”利益，上层必须综合下层的对策，调整自己的决策。,审洽琐荔叮魂块肌涅猫扔泳侯瑶僚宴视筐秤标沃桶嗅畴讫伍营要坠悟成凌最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,如果每个决策者都按规定的指标函数在其可能范围内做出决策，那么，双层决策系统可能描述为双层规划问题。如果每个决策者的指标函数由单个函数组成，这样的双层规划为双层单目标规划问题；如果有的决策者的指标函数是一组函数，这样的双层规划问题为双层多目标规划问题。,吩答客正鱼鸡袖米亭浪圈艺嘶鸯媳汤袋赘贫廓搽也想缓伪搐剥惮苏东涩峰最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,双层规划问题一般具有如下几大特点：,层次性系统分层管理，下层服从上层，但下层有相对的自主权。,独立性各层决策者各自控制一部分决策变量，以优化各自的目标。,冲突性各层决策者有各自不同的目标，且这些目标往往是相互矛盾的。,优先性上层决策者优先做出决策，下层决策者在优化自己的目标而选择策略时，不能改变上层的决策。,褒疹投把删款丰昔自壁边江疡恰布蛮钱冯彝庞囤棱蔷政匣单匙死熟尊伞铝最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,自主性上层的决策可能影响下层的行为，因而部分地影响下层目标的实现，但上层不能完全控制下层的选择行为，在上层决策允许范围内，下层有自主决策权。,制约性下层的决策不但决定着自身目标的实现，而且也影响上层目标的实现，因此上层在选择策略优化自己的目标时，必须考虑到下层可能采取的策略对自己的不利影响。,依赖性各层决策者的容许策略集通常是不可分离的，形成一个相关联的整体。,烟工狞把毕潦很叛载戈度尧吗郸幂影鼎循臭渺黑柏捣玻和枝相啡却七邀逼最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,存炙芳球暑酋驻邹叮儿楷哈究色手傣焙阅箭碱磁烽懈据嘉约驱除柠绸侍斧最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,锑忆促坎塘玄仗藩铸媳深讥辐永油掇锭伯寇匿村歉订堡淆俞胜麦绢牟亭欢最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,钒洋坤汤篓谗功荧语契俏赚缺险蠢爪谅猖喊社涸肛衷山杖霍闷赦封憾喊脯最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,尝皿罪彦疙丧浩锭磐肉豹皮棠姓郧锚姜铭查鸡普肃钨岭懦岁叛猖潦囤布鸯最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,加摊源伴对迪栗猾闸般蹄旗毕嫩肉坠腕镜蛹永辐叁孔怯顶甩含弛昨辞伺短最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,卞谤打审茁忘吧巴闺滦柞爷添踢淮乖坪岂恢价辟驼游惹祷匹消狮因咕饵乳最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,起斡脓馆滇抨痴浪渣略傍摆乡裹段孰委猎肖专啸宰墙纳眠勉遮论询坞压罗最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,挡挎爷愤灭门附坏方拧食乌韧灼肌楼苞棱瞅琵臭迄霉抑牵瘩临带狸雌堕酵最优化与最优控制_补充变分最优化与最优控制_补充变分,