资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3 平面向量的数量积,要点梳理,1.平面向量的数量积,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，则数量,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,.,规定：零向量与任一向量的数量积为,.,两个非零向量,a,与,b,垂直的充要条件是,，两非零向量,a,与,b,平行的充要条件是,.,|,a,|,|,b,|cos,a,b,=|,a,|,b,|,cos,0,a,b,=0,a,b,=,|,a,|,b,|,基础知识 自主学习,2.平面向量数量积的几何意义,数量积,a,b,等于,a,的长度|,a,|与,b,在,a,方向上的投影,的乘积.,3.平面向量数量积的重要性质,（1）,e,a,=,a,e,=,；,（2）非零向量,a,，,b,，,a,b,；,（3）当,a,与,b,同向时，,a,b,=,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,=,a,a,=,，|,a,|=,;,（4）cos,=,；,（5）|,a,b,|,|,a,|,b,|.,|,b,|cos,|,a,|cos,a,b,=0,|,a,|,b,|,-|,a,|,b,|,a,2,4.平面向量数量积满足的运算律,（1）,a,b,=,（交换律）；,（2）（,a,）,b,=,=,（,为实数）；,（3）（,a,+,b,）,c,=,.,b,a,a,b,a,b,a,c,+,b,c,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示,设向量,a,=（,x,1,，,y,1,），,b,=（,x,2,，,y,2,），则,a,b,=,，由此得到,（1）若,a,=（,x,，,y,）,则|,a,|,2,=,或|,a,|,.,（2）设,A,（,x,1,，,y,1,），,B,（,x,2,，,y,2,），则,A,、,B,两点间的距离|,AB,|=|,AB,|=,.,（3）设,a,=（,x,1,，,y,1,），,b,=（,x,2,，,y,2,），则,a,b,.,x,1,x,2,+,y,1,y,2,x,2,+,y,2,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,基础自测,1.已知,a,=(2,3),b,=(-4,7),则,a,在,b,上的投影为（）,A.B.C.D.,解析,设,a,和,b,的夹角为,，|,a,|cos,=|,a,|,C,2.若|,a,|=2cos 15,，|,b,|=4sin 15,，,a,，,b,的夹角为30,，则,a,b,等于（）,A.B.C.D.,解析,B,3.已知,a,=(1,-3),b,=(4,6)，,c,=(2,3)，则,a,（,b,c,）等于（）,A.（26，-78）B.（-28，-42）,C.-52D.-78,解析,a,(,b,c,)=(1,-3),(4,2+6,3)=(26,-78).,A,4.向量,m,=(,x,-5,1),n,=(4,x,),m,n,，则,x,等于（）,A.1B.2C.3D.4,解析,由,m,n,=0，得4(,x,-5)+,x,=0，得,x,=4.,D,5.,（2009,江西文，13）,已知向量,a,=(3,1),b,=(1,3),c,=(,k,2),若（,a,-,c,）,b,则,k,=,.,解析,a,-,c,=(3,1)-(,k,2)=(3-,k,-1),(,a,-,c,),b,，,b,=(1,3),(3-,k,),1-3=0,k,=0.,0,题型一 平面向量的数量积,【,例1,】已知向量,a,=(cos,x,sin,x,),b,=(cos ,-sin )，且,x,.,(1)求,a,b,及|,a,+,b,|;,(2)若,f,(,x,)=,a,b,-|,a,+,b,|，求,f,(,x,)的最大值和最小值.,利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|,a,+,b,|时注意,x,的取值范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,0,|,a,+,b,|=2cos,x,.,(2)由(1)可得,f,(,x,)=cos 2,x,-2cos,x,=2cos,2,x,-2cos,x,-1,=2(cos,x,-),2,-.,x,，cos,x,1，,当cos,x,=时，,f,(,x,)取得最小值为-；,当cos,x,=1时，,f,(,x,)取得最大值为-1.,探究提高,（1）与三角函数相结合考查向量的数,量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此,类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公,式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三,角恒等变换的相关知识.,（2）求平面向量数量积的步骤：首先求,a,与,b,的夹角,为,0,，180,，再分别求|,a,|，|,b,|，,然后再求数量积即,a,b,=|,a,|,b,|cos,，若知道向量,的坐标,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,知能迁移1,（1）已知,O,是,ABC,内部一点，,=,0,，,且,BAC,=30,，则,AOB,的面积为（）,A.2B.1C.D.,解析,由 =,0,得,O,为,ABC,的重心.,S,AOB,=,S,ABC,.,又 cos 30,=2 ，,得 =4.,S,ABC,=sin 30,=1.,S,AOB,=.,D,（2）,（2009,重庆理，4）,已知|,a,|=1,|,b,|=6,a,(,b,-,a,)=2，则向量,a,与,b,的夹角是（）,A.B.C.D.,解析,a,(,b,-,a,)=,a,b,-,a,2,=2,a,b,=2+,a,2,=3,cos,a,，,b,=,a,与,b,的夹角为 .,C,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题,【,例2,】已知向量,a,=(cos(-,),sin(-,),b,=,（1）求证：,a,b,；,（2）若存在不等于0的实数,k,和,t,，使,x,=,a,+(,t,2,+3),b,y,=-,k,a,+,t,b,，满足,x,y,，试求此时 的最小值.,（1）,可通过求,a,b,=0,证明,a,b,.,（2）,由,x,y,得,x,y,=0，即求出关于,k,t,的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量,k,，得出关于,t,的函数，从而求出最小值.,思维启迪,(1),证明,a,b,=cos(-,),cos(-,)+sin(-,),sin(-,)=sin,cos,-sin,cos,=0.,a,b,.,（2）,解,由,x,y,得,x,y,=0,即,a,+（,t,2,+3）,b,（-,k,a,+,t,b,）=0，,-,k,a,2,+（,t,3,+3,t,）,b,2,+,t,-,k,（,t,2,+3）,a,b,=0，,-,k,|,a,|,2,+（,t,3,+3,t,）|,b,|,2,=0.,又|,a,|,2,=1，|,b,|,2,=1，,-,k,+,t,3,+3,t,=0，,k,=,t,3,+3,t,.,故当,t,=时，有最小值 .,探究提高,（1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.,（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.,知能迁移2,已知平面向量,a,=（-,）,b,=(-,-1).,(1)证明：,a,b,;,(2)若存在不同时为零的实数,k,、,t,使,x,=,a,+(,t,2,-2),b,y,=-,k,a,+,t,2,b,且,x,y,，试把,k,表示为,t,的函数.,(1),证明,a,b,=,(,-1),a,b,.,(2),解,x,y,x,y,=0,即,a,+(,t,2,-2),b,（-,k,a,+,t,2,b,）=0.,展开得-,k,a,2,+,t,2,-,k,(,t,2,-2),a,b,+,t,2,(,t,2,-2),b,2,=0,a,b,=0,a,2,=|,a,|,2,=1,b,2,=|,b,|,2,=4,-,k,+4,t,2,（,t,2,-2）=0,k,=,f,(,t,)=4,t,2,(,t,2,-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题,【,例,3,】,（,12,分）已知,|,a,|=1,，,a,b,=,，（,a,-,b,）,（,a,+,b,）,=,，,求：（,1,）,a,与,b,的夹角；,（,2,）,a,-,b,与,a,+,b,的夹角的余弦值,.,解,（,1,）（,a,-,b,）,（,a,+,b,）,=,，,|,a,|,2,-|,b,|,2,=,，,又,|,a,|=1,，,|,b,|=3,分,设,a,与,b,的夹角为,，,则,cos,=,0,180,=45,.6,分,5分,（2）（,a,-,b,）,2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,|,a,-,b,|=8分,（,a,+,b,）,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=1+2,|,a,+,b,|=,设,a,-,b,与,a,+,b,的夹角为 ，10分,则cos =12分,探究提高,（1）求向量的夹角利用公式cos,a,，,b,=.需分别求向量的数量积和向量的模.,（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.,|,a,|,2,=,a,2,=,a,a,;|,a,b,|,2,=,a,2,2,a,b,+,b,2,;,若,a,=(,x,y,)，则|,a,|=.,知能迁移3,已知|,a,|=4,|,b,|=8,a,与,b,的夹角是120,.,(1)计算：|,a,+,b,|;|4,a,-2,b,|;,(2)当,k,为何值时，(,a,+2,b,)(,k,a,-,b,)？,解,由已知，,a,b,=4,8,(-)=-16.,（1）|,a,+,b,|,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=16+2,(-16)+64=48,|,a,+,b,|=4 .,|4,a,-2,b,|,2,=16,a,2,-16,a,b,+4,b,2,=16,16-16,(-16)+4,64=3,16,2,|4,a,-2,b,|=16 .,（2）若(,a,+2,b,)(,k,a,-,b,),则(,a,+2,b,),(,k,a,-,b,)=0,k,a,2,+（2,k,-1）,a,b,-2,b,2,=0.,16,k,-16（2,k,-1）-2,64=0，,k,=-7.,方法与技巧,1.数量积,a,b,中间的符号,“”,不能省略，也不能用,“”,来替代.,2.要熟练类似（,a,+,b,),(,s,a,+,t,b,)=,s,a,2,+(,t,+,s,),a,b,+,t,b,2,的运算律（、,、,s,、,t,R,）.,3.求向量模的常用方法：利用公式|,a,|,2,=,a,2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.,4.一般地，（,a,b,）,c,(,b,c,),a,即乘法的结合律不成立.因,a,b,是一个数量，所以(,a,b,),c,表示一个与,c,共线的向量，同理右边（,b,c,）,a,表示一个与,a,共线的向量,而,a,与,c,不一定共线,故一般情况下(,a,b,),c,(,b,c,),a,.,思想方法 感悟提高,失误与防范,1.零向量:(1),0,与实数0的区别，不可写错：0,a,=,0,0,a,+(-,a,)=,0,0,a,0,=0,0,;(2),0,的方向是任意的，并非没有方向，,0,与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.,2.,a,b,=0不能推出,a,=,0,或,b,=,0,因为,a,b,=0,a,b,.,3.,a,b,=,a,c,(,a,0,)不能推出,b,=,c,.即消去律不成立.,4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形,ABC,中，应为120,而不是60,.,一、选择题,1.,（2009,宁夏文，7）,已知,a,=(-3,2),b,=(-1,0)，向量,a,+,b,与,a,-2,b,垂直，则实数,的值为（）,A.B.C.D.,解析,a,=(-3,2),b,=(-1,0),a,+,b,=(-3 -1,2 ),a,-2,b,=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）
展开阅读全文